Sejam dois planos uniformemente carregados, sem espessura, infinitos e paralelos ao plano yz, um deles localizado em x=0 e o outro em x=a. Considere que V=0 em x=0.
Faça um gráfico do potencial V em função de x no intervalo -a. Caso você não tenha feito o item (a), faça pelo menos um esboço do gráfico esperado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são dois planos carregados de forma uniforme e infinitos, sem espessura, paralelos ao plano yz. Um desses planos está na posição $ x = 0 $ e o outro em $ x = a $. Sabemos que o potencial elétrico $ V $ é zero em $ x = 0 $. A gente precisa fazer um gráfico de $ V $ em função de $ x $ no intervalo de $ -a $ até $ 2a $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente o campo elétrico criado por planos infinitos carregados e como relacionar esse campo ao potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um plano infinito carregado com densidade de carga superficial $ \sigma $ cria um campo elétrico uniforme perpendicular ao plano. A direção desse campo depende do sinal da carga. A fórmula para o campo elétrico de um plano infinito é:
sigma
Onde $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Como temos dois planos carregados, precisamos considerar a contribuição de cada um para o campo elétrico total. Supondo que ambos os planos têm a mesma densidade de carga $ \sigma $, mas um pode ter carga positiva e o outro negativa, ou ambas positivas mas com direções opostas para os campos. Isso vai determinar como os campos se adicionam.
Vamos assumir, para simplificar, que ambos os planos têm cargas positivas. Assim, o campo criado por cada plano sai perpendicularmente para fora do plano. O campo total será a soma vetorial dos campos de cada plano.

Passo 4

Agora, vamos determinar o campo elétrico em diferentes regiões:
  1. Para $ x < 0 $: Ambos os campos apontam na direção negativa de $ x $, então o campo total é $ E = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0} $.
  2. Para $ 0 < x < a $: O campo do plano em $ x = 0 $ aponta para a direita ($ +x $), e o campo do plano em $ x = a $ também aponta para a direita. Então, o campo total é $ E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{3\sigma}{2\varepsilon_0} $.
  3. Para $ x > a $: O campo do plano em $ x = 0 $ ainda aponta para a direita, mas o campo do plano em $ x = a $ agora aponta para a esquerda. Assim, o campo total é $ E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} $.

Passo 5

Com o campo elétrico conhecido em cada região, podemos encontrar o potencial elétrico $ V $ integrando o campo:
V
Vamos usar a condição $ V = 0 $ em $ x = 0 $ para determinar a constante de integração.

Passo 6

Integrando em cada região:
  1. Para $ x < 0 $:
x < 0
Usando $ V(0) = 0 $:
V(x) = -(-sigmavarepsilon0)x + C = sigmavarepsilon0x + C
Então, $ V(x) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}x $.
  1. Para $ 0 < x < a $:
V(0) = 0
Usando continuidade em $ x = 0 $:
0 = 0 + C Rightarrow C = 0
Então, $ V(x) = -\frac{3\sigma}{2\varepsilon_0}x $.
  1. Para $ x > a $:
V(x) = sigmavarepsilon0x
Usando continuidade em $ x = a $:
0 < x < a
Então, $ V(x) = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}x - \sigma a $.

Passo 7

Agora, vamos resumir as expressões para $ V(x) $:
V(x)

Resposta

O gráfico de $ V $ em função de $ x $ no intervalo de $ -a $ a $ 2a $ apresenta três retas com inclinações diferentes nas regiões $ -a < x < 0 $, $ 0 < x < a $ e $ a < x < 2a $, conforme as expressões encontradas. Aqui está um esboço esperado:
V
|
|      /
|     / 
|    /  
|---/----------
|  /|
| / |
|/  |
+----------------- x
No gráfico:
  • De $ -a $ a $ 0 $, $ V $ aumenta linearmente.
  • De $ 0 $ a $ a $, $ V $ diminui com uma inclinação maior.
  • De $ a $ a $ 2a $, $ V $ continua a diminuir, mas com uma inclinação menor.
  • O ponto em $ x = 0 $ é $ V = 0 $, em $ x = a $ e $ x = 2a $ os valores de $ V $ são calculados conforme as fórmulas acima.

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