Uma linha fina não-condutora está carregada uniformemente com uma densidade linear de carga lambda, constante. Com um pedaço desta linha, podemos formar um anel de raio r. O campo elétrico devido ao anel tem valor E em um ponto localizado a uma distância z acima do centro do anel, medido perpendicularmente ao plano do anel.
Qual é o raio r do anel que maximiza o módulo do campo elétrico E no ponto z ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma linha fina não-condutora carregada de forma uniforme com uma densidade linear de carga constante, chamada de lambda. A gente pode curvar um pedaço dessa linha para formar um anel com raio r. Queremos descobrir qual é esse raio r que faz com que o campo elétrico E gerado pelo anel seja o maior possível em um ponto que está a uma distância z acima do centro do anel.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico gerado por distribuições de carga e cálculo para encontrar máximos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico devido a um anel carregado. Imagine um anel de raio r com carga total Q. O campo elétrico E em um ponto a uma distância z ao longo do eixo do anel (perpendicular ao plano do anel) pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
E(z) = 14pi varepsilon0 cdot Q z(z^2 + r^2)^3/2
Aqui, varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 3

Agora, como a densidade linear de carga é lambda, a carga total Q no anel é igual a lambda vezes o comprimento do anel. O comprimento de um anel é a circunferência, que é 2pi r. Portanto:
Q = lambda cdot 2pi r
Substituindo isso na expressão do campo elétrico:
E(z) = 14pi varepsilon0 cdot lambda cdot 2pi r cdot z(z^2 + r^2)^3/2
Simplificando, os termos 2pi se cancelam:
E(z) = lambda z r2 varepsilon0 (z^2 + r^2)^3/2

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar o valor de r que maximiza o campo elétrico E(z). Para isso, vamos tratar E(z) como uma função de r e encontrar onde sua derivada em relação a r é zero.
Vamos definir:
f(r) = r(z^2 + r^2)^3/2
Queremos maximizar f(r).
Calculando a derivada f'(r):
f'(r) = ddr ( r(z^2 + r^2)^3/2 )
Usando a regra do quociente ou a regra do produto, temos:
f'(r) = (z^2 + r^2)^3/2 cdot 1 - r cdot 32(z^2 + r^2)^1/2 cdot 2r(z^2 + r^2)^3
Simplificando:
f'(r) = (z^2 + r^2) - 3r^2(z^2 + r^2)^5/2
f'(r) = z^2 - 2r^2(z^2 + r^2)^5/2

Passo 5

Para encontrar o máximo, igualamos a derivada a zero:
z^2 - 2r^2(z^2 + r^2)^5/2 = 0
O denominador nunca é zero, então o numerador deve ser zero:
z^2 - 2r^2 = 0
Resolvendo para r:
2r^2 = z^2
r^2 = z^22
r = zraiz2

Resposta

O raio r que maximiza o módulo do campo elétrico E no ponto a uma distância z do centro do anel é:
r = zraiz2

Exercícios relacionados