Uma linha fina não-condutora está carregada uniformemente com uma densidade linear de carga
, constante. Com um pedaço desta linha, podemos formar um anel de raio
. O campo elétrico devido ao anel tem valor
em um ponto localizado a uma distância
acima do centro do anel, medido perpendicularmente ao plano do anel.
Qual é o raio
do anel que maximiza o módulo do campo elétrico
no ponto
?
Qual é o raio
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma linha fina não-condutora carregada de forma uniforme com uma densidade linear de carga constante, chamada de
. A gente pode curvar um pedaço dessa linha para formar um anel com raio
. Queremos descobrir qual é esse raio
que faz com que o campo elétrico
gerado pelo anel seja o maior possível em um ponto que está a uma distância
acima do centro do anel.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico gerado por distribuições de carga e cálculo para encontrar máximos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico devido a um anel carregado. Imagine um anel de raio
com carga total
. O campo elétrico
em um ponto a uma distância
ao longo do eixo do anel (perpendicular ao plano do anel) pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
Aqui,
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Agora, como a densidade linear de carga é
, a carga total
no anel é igual a
vezes o comprimento do anel. O comprimento de um anel é a circunferência, que é
. Portanto:
Substituindo isso na expressão do campo elétrico:
Simplificando, os termos
se cancelam:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que maximiza o campo elétrico
. Para isso, vamos tratar
como uma função de
e encontrar onde sua derivada em relação a
é zero.
Vamos definir:
Queremos maximizar
.
Calculando a derivada
:
Usando a regra do quociente ou a regra do produto, temos:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar o máximo, igualamos a derivada a zero:
O denominador nunca é zero, então o numerador deve ser zero:
Resolvendo para
:
Resposta
O raio
que maximiza o módulo do campo elétrico
no ponto a uma distância
do centro do anel é: