Uma linha fina não-condutora está carregada uniformemente com uma densidade linear de carga
, constante. Com um pedaço desta linha, podemos formar um anel de raio
. O campo elétrico devido ao anel tem valor
em um ponto localizado a uma distância
acima do centro do anel, medido perpendicularmente ao plano do anel.
Mostre que o campo elétrico é dado por
.
Mostre que o campo elétrico é dado por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma linha carregada uniformemente, que forma um anel de raio $ r $. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico $ \vec{E} $ em um ponto a uma distância $ z $ acima do centro desse anel. A matéria aqui envolve eletrostática, especificamente o cálculo de campos elétricos usando a Lei de Coulomb e conceitos de simetria. Para resolver, vamos precisar entender como somar os efeitos de cada pedacinho de carga no anel para encontrar o campo total no ponto desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o anel: imagine um círculo com raio $ r $ carregado com uma densidade linear de carga $ \lambda $ (carga por unidade de comprimento). Queremos calcular o campo elétrico em um ponto que está a uma altura $ z $ perpendicularmente acima do centro do anel.
Como o anel é simétrico, cada pedacinho de carga no anel vai criar um campo elétrico que tem componentes na direção radial e na vertical ($ \hat{k} $). Devido à simetria circular, os componentes radiais vão se cancelar, restando só a componente vertical.
Passo 3
Vamos considerar um pequeno elemento de carga $ dq $ no anel. A carga desse elemento pode ser expressa como $ dq = \lambda , dl $, onde $ dl $ é um pequeno pedaço do comprimento do anel. O campo elétrico devido a esse elemento no ponto $ P $ a uma altura $ z $ é dado pela Lei de Coulomb:
Aqui, $ s $ é a distância entre $ dq $ e o ponto $ P $, que, pelo Teorema de Pitágoras, é $ s = \sqrt{r^2 + z^2} $. A direção $ \hat{s} $ é do elemento de carga em direção ao ponto $ P $.
Passo 4
Como mencionei antes, devido à simetria, só precisamos considerar a componente vertical do campo elétrico. Essa componente é $ dE_z = dE \cos(\theta) $, onde $ \theta $ é o ângulo entre $ s $ e o eixo vertical (que é o mesmo que $ z
s $).
Substituindo, temos:
Integrando ao redor de todo o anel, $ dl $ integrado é simplesmente a circunferência do anel, que é $ 2\pi r $:
Simplificando os termos:
Resposta
O campo elétrico no ponto $ P $ é dado por: