Uma das maneiras de controlar a qualidade de um produto é controlar a sua variabilidade.
Uma máquina de empacotar café está regulada para encher os pacotes com desvio padrão de 10 g e média de 500 g e onde o peso de cada pacote distribuí-se normalmente. Colhida uma amostra de \mathrm{n}=16, observou-se uma variância de 169 g 2 . É possível afirmar com este resultado que a máquina está desregulada guanto a variabilidade, supondo uma significância de 5 \% ?

Passo 1

Resumindo, a máquina deveria encher pacotes com desvio padrão \sigma=10 g, mas a partir de uma amostra de n=16 obteve-se variância amostral s^2=169 g^{2}. Queremos testar, a 5\% de nível de significância, se a variabilidade mudou. O conteúdo que usamos é o teste de hipótese para a variância de uma população normal, que se baseia na distribuição \chi^2.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0: \sigma^2 = 100,
H_1: \sigma^2 \neq 100.
Como a população é normal e n=16, o estatístico
\chi^2 = \frac{(n-1)\,s^2}{\sigma_0^2}
segue a distribuição \chi^2 com n-1=15 graus de liberdade sob H_0.

Passo 3

Calculamos o valor observado do estatístico:
\chi^2_{\text{obs}} = \frac{15 \times 169}{100} = 25{,}35.

Passo 4

Para \alpha = 5\% em teste bilateral, as regiões críticas são dadas pelos quantis de 2{,}5\% e 97{,}5\% de \chi^2_{15}:
\chi^2_{0{,}025;15} = 6{,}262 \quad\text{e}\quad \chi^2_{0{,}975;15} = 27{,}488.
Rejeitamos H_0 se
\chi^2_{\text{obs}} < 6{,}262 \quad\text{ou}\quad \chi^2_{\text{obs}} > 27{,}488.

Passo 5

Observamos que
6{,}262 < 25{,}35 < 27{,}488,
ou seja, \chi^2_{\text{obs}} está dentro da região de aceitação. Logo, não rejeitamos H_0.

Resposta

Não há evidência estatística, a 5\% de significância, de que a variabilidade da máquina esteja desregulada.

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