De uma população normal
, com
, tiramos uma amostra de 25 observações, obtendo
. Determine um IC de limites de 90% para a média
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Nós temos uma população normal $ X $ com variância $ \sigma^{2} = 9 $. Tiramos uma amostra com 25 observações dessa população, e a soma dessas observações é 152. Nosso objetivo é determinar um intervalo de confiança (IC) de 90% para a média $ \mu $.
Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de Estatística, especificamente sobre Intervalo de Confiança para a média quando a variância é conhecida e a população é normal. Vamos usar a distribuição $ Z $, que nos ajuda a calcular os limites do intervalo de confiança.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a média amostral ($ \bar{x} $). Sabemos que a soma das 25 observações é 152. A média amostral é dada por:
Passo 3
Agora, vamos identificar o desvio padrão da população ($ \sigma $). Sabemos que $ \sigma^{2} = 9 $, então:
Passo 4
Como queremos um intervalo de confiança de 90%, precisamos encontrar o valor crítico $ Z $ correspondente a esse nível de confiança. Para um IC de 90%, a área nas duas caudas é de 10%, ou seja, 5% em cada cauda.
Consultando a tabela da distribuição $ Z $, encontramos que o valor crítico $ Z $ para 90% é aproximadamente 1,645.
Passo 5
Agora, vamos calcular o erro padrão da média ($ E $). O erro padrão é dado por:
Passo 6
Com o erro padrão calculado, podemos determinar os limites inferior e superior do intervalo de confiança:
Resposta
O intervalo de confiança de 90% para a média $ \mu $ é aproximadamente de 5,09 a 7,07.