Em uma linha de produção, foi registrado o número de peças produzidas pelos operários durante 25 dias:
\begin{aligned} & \begin{array}{l} 12,15,10,11,14,13,15,10,12,11, \\\\ 15,13,14,12,15,10,13,14,15,11 \\\\ 12,11,10,15,11 \end{array} \end{aligned}
a) Construa a tabela de distribuição de frequências com as frequências observada, relativa, percentual e cumulativa.
b) Elabore um gráfico de colunas representando os dados.
c) Qual o percentual correspondente ao número de peças mais comum?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Construir a tabela de distribuição de frequências com as frequências observada, relativa, percentual e cumulativa.
  2. (b) Elaborar um gráfico de colunas representando os dados.
  3. (c) Dizer qual o percentual correspondente ao número de peças mais comum.
Informações fornecidas (os dados, reprisados aqui para facilitar):
\begin{aligned} &12,15,10,11,14,13,15,10,12,11,\\\ &15,13,14,12,15,10,13,14,15,11,\\\ &12,11,10,15,11 \end{aligned}
Total de observações: 25 dias (somente isso já é importante — vamos usar N=25 em todos os cálculos seguintes).

Passo 2

Contar quantas vezes aparece cada número de peças (procedimento e contagem).
  • Dica prática para a prova: ordene mentalmente ou marque com riscos (||||) toda vez que vê cada valor; isso evita erros de contagem.
    Vou fazer a contagem para cada valor observado ( 10,11,12,13,14,15):
Contagem (tally):
  • 10: aparece 4 vezes.
  • 11: aparece 5 vezes.
  • 12: aparece 4 vezes.
  • 13: aparece 3 vezes.
  • 14: aparece 3 vezes.
  • 15: aparece 6 vezes.
Verificação rápida: 4+5+4+3+3+6=25, que é o total N. Se não fechasse, teria erro na contagem.

Passo 3

Calcular a frequência relativa (explicação e aplicação).
  • Conceito: a frequência relativa de uma classe é a fração do total que essa classe representa. Fórmula:
\text{frequência relativa}=\frac{\text{frequência observada}}{N}êê
onde N é o número total de observações (aqui N=25).
Aplicando:
\begin{aligned} \text{para }10:&\quad \frac{4}{25}=0{,}16,\\\ \text{para }11:&\quad \frac{5}{25}=0{,}20,\\\ \text{para }12:&\quad \frac{4}{25}=0{,}16,\\\ \text{para }13:&\quad \frac{3}{25}=0{,}12,\\\ \text{para }14:&\quad \frac{3}{25}=0{,}12,\\\ \text{para }15:&\quad \frac{6}{25}=0{,}24. \end{aligned}
Observação prática para prova: lembrar que \frac{1}{25}=0{,}04 (ou 4\%), então multiplica-se o número de ocorrências por 0{,}04 para obter a frequência relativa.

Passo 4

Converter a frequência relativa em percentual (explicação e aplicação).
  • Conceito: percentual = frequência relativa \times 100\%.
    Usando a dica \frac{1}{25}=4\% (logo cada ocorrência de uma classe corresponde a 4\%):
\begin{aligned} 10:&\;4\text{ ocorrências}\Rightarrow 4\cdot 4\%=16\%,\\\\ 11:&\;5\text{ ocorrências}\Rightarrow 5\cdot 4\%=20\%,\\\\ 12:&\;4\text{ ocorrências}\Rightarrow 16\%,\\\\ 13:&\;3\text{ ocorrências}\Rightarrow 12\%,\\\\ 14:&\;3\text{ ocorrências}\Rightarrow 12\%,\\\\ 15:&\;6\text{ ocorrências}\Rightarrow 24\%. \end{aligned}êêêêêê

Passo 5

Calcular as frequências acumuladas (explicação e aplicação).
  • Conceito: a frequência acumulada até um valor é a soma das frequências observadas daquele valor e de todos os valores menores (ou anteriores, seguindo a ordem que escolher).
    Cumulando em ordem crescente 10\to11\to12\to13\to14\to15:
\begin{aligned} \text{F acumulada em }10&=4,\\\ \text{F acumulada em }11&=4+5=9,\\\ \text{F acumulada em }12&=9+4=13,\\\ \text{F acumulada em }13&=13+3=16,\\\ \text{F acumulada em }14&=16+3=19,\\\ \text{F acumulada em }15&=19+6=25. \end{aligned}
As percentuais acumulados correspondentes (multiplicando por 100\% ou somando percentuais) ficam:
16\%,\;36\%,\;52\%,\;64\%,\;76\%,\;100\%.

Passo 6

Montar a tabela final de distribuição de frequências (colocando tudo junto).
Aqui está a tabela com todas as colunas pedidas: frequência observada, relativa, percentual e acumulada (valores apresentados exatamente como calculados):
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Peças} & \text{Frequência} & \text{Frequência relativa} & \text{Percentual} & \text{F. acumulada} & \text{Perc. acumulado} \\\ \hline 10 & 4 & \dfrac{4}{25} & 16\% & 4 & 16\% \\\\ 11 & 5 & \dfrac{5}{25} & 20\% & 9 & 36\% \\\\ 12 & 4 & \dfrac{4}{25} & 16\% & 13 & 52\% \\\\ 13 & 3 & \dfrac{3}{25} & 12\% & 16 & 64\% \\\\ 14 & 3 & \dfrac{3}{25} & 12\% & 19 & 76\% \\\\ 15 & 6 & \dfrac{6}{25} & 24\% & 25 & 100\% \end{array}

Passo 7

Elaborar o gráfico de colunas (instrução passo a passo e dados prontos para desenhar).
  • O gráfico de colunas tem o eixo horizontal (x) com as categorias 10,11,12,13,14,15 e o eixo vertical (y) com a frequência (contagem).
  • Marque o eixo y de 0 até 6 (já que a maior frequência é 6); ticks em 0,1,2,3,4,5,6 bastam.
  • Para cada valor de x desenhe uma barra com altura igual à frequência observada:
10\mapsto 4,\;11\mapsto 5,\;12\mapsto 4,\;13\mapsto 3,\;14\mapsto 3,\;15\mapsto 6.
  • Rótulos e dicas: colocar rótulo no eixo x “número de peças”, no eixo y “frequência (dias)”, e opcionalmente escrever o percentual no topo de cada barra ( 16\%,20\%,16\%,12\%,12\%,24\%) para facilitar leitura.
  • Se for desenhar à mão na prova, faça barras com largura igual e espaços iguais entre elas; se for em computador, use as pares (x,freq) acima.

Passo 8

Determinar o percentual correspondente ao número de peças mais comum.
  • Observando a tabela, o valor mais comum (moda) é 15 peças, com frequência 6 em 25 observações.
  • Percentual correspondente: \dfrac{6}{25}=0{,}24=24\%.

Resposta

a)
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{Peças} & \text{Frequência} & \text{Frequência relativa} & \text{Percentual} & \text{F. acumulada} & \text{Perc. acumulado} \\\ \hline 10 & 4 & \dfrac{4}{25} & 16\% & 4 & 16\% \\\\ 11 & 5 & \dfrac{5}{25} & 20\% & 9 & 36\% \\\\ 12 & 4 & \dfrac{4}{25} & 16\% & 13 & 52\% \\\\ 13 & 3 & \dfrac{3}{25} & 12\% & 16 & 64\% \\\\ 14 & 3 & \dfrac{3}{25} & 12\% & 19 & 76\% \\\\ 15 & 6 & \dfrac{6}{25} & 24\% & 25 & 100\% \end{array}
b) Gráfico de colunas: barras com alturas (frequências) correspondentes a
10\mapsto 4,\;11\mapsto 5,\;12\mapsto 4,\;13\mapsto 3,\;14\mapsto 3,\;15\mapsto 6
(legende o eixo x com os valores 10,11,12,13,14,15 e o eixo y de 0 a 6; opcionalmente escreva os percentuais 16\%,20\%,16\%,12\%,12\%,24\% no topo das barras).
c) 24\%

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