Uma linha uniforme de cargas com densidade \lambda=2,0 \mathrm{nC} / \mathrm{m} está localizada no plano z=0, paralela ao eixo x em y=3 \mathrm{~m}. Encontre a ddp entre os pontos A e B localizados, respectivamente, em ( 2,0,4) \mathrm{m} \mathrm{e}(0,0,0) \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado pede a diferença de potencial entre os pontos A e B gerada por uma linha uniforme de cargas. Informações dadas:
  • Densidade linear de carga: \lambda = 2{,}0\\ \mathrm{nC/m} = 2{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}.
  • A linha de carga é paralela ao eixo x e está localizada no plano z=0 em y=3\\ \mathrm{m}. Ou seja, pontos da linha têm coordenadas (x,3,0) para todo x.
  • Ponto A: (2,0,4)\\ \mathrm{m}.
  • Ponto B: (0,0,0)\\ \mathrm{m}.
  • Queremos a diferença de potencial entre A e B: V(A)-V(B).

Passo 2

Escolha do método: Para uma linha infinita e uniforme de cargas a campo elétrico depende apenas da distância perpendicular r à linha. Vou usar a Lei de Gauss para obter o módulo do campo elétrico \mathbf{E} como função de r e depois usar a relação entre potencial e campo
V(P_1)-V(P_2)=-\int_{P_2}^{P_1}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Esse método é o mais direto e padrão para linhas de carga infinitas e evita problemas com constante arbitrária de potencial (trabalhamos com diferença de potencial, que é bem definida).

Passo 3

Cálculo do campo elétrico usando a Lei de Gauss:
  • Considere um cilindro gaussiano coaxial com a linha de carga, de raio r (distância perpendicular à linha) e comprimento L.
  • Pela simetria, o campo elétrico tem módulo E(r) radial (no plano y\!-\!z) e é constante na superfície lateral do cilindro. A contribuição nas tampas é zero (campo perpendicular às tampas).
  • Lei de Gauss:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
  • A carga interna é Q_{\text{int}}=\lambda L. A integral sobre a superfície lateral é E(r)\cdot (2\pi r L). Portanto,
E(r)\,2\pi r L = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.
  • Cancelando L,
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}.
Aqui r é a distância perpendicular do ponto até a linha de carga; \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).

Passo 4

Relação entre campo e diferença de potencial:
  • Tomamos um caminho radial no plano y\!-\!z entre as distâncias r_B (em B) e r_A (em A). Nesse caminho \mathbf{E} é radial e \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=E(r)\,dr.
  • Assim,
V(A)-V(B)=-\int_{r_B}^{r_A} E(r)\,dr =-\int_{r_B}^{r_A} \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}\,dr.
  • Integramos:
V(A)-V(B)=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\int_{r_B}^{r_A}\frac{1}{r}\,dr =-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\big[\ln r\big]_{r_B}^{r_A} =-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\frac{r_A}{r_B}.
  • Reescrevendo de forma útil:
V(A)-V(B)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\frac{r_B}{r_A}.
Isto é uma forma prática: a diferença de potencial depende só das distâncias perpendiculares r_A e r_B.

Passo 5

Calcular as distâncias perpendiculares r_A e r_B da linha:
  • A linha está em y=3,\\ z=0. A distância perpendicular de um ponto (x,y,z) até a linha é
r=\sqrt{(y-3)^2+z^2},
pois a coordenada x é irrelevante (linha se estende ao longo de x).
  • Para A=(2,0,4):
r_A=\sqrt{(0-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\ \mathrm{m}.
  • Para B=(0,0,0):
r_B=\sqrt{(0-3)^2+0^2}=\sqrt{9}=3\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Substituir na fórmula e calcular numericamente:
  • Fórmula:
V(A)-V(B)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\!\frac{r_B}{r_A}.
  • Valores: \lambda=2{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}, \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, r_B=3\\ \mathrm{m}, r_A=5\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro calcule o fator \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}:
\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} =\frac{2{,}0\times10^{-9}}{2\pi\cdot 8{,}854\times10^{-12}} \approx 35{,}93\\ \mathrm{V}.
(Usei aproximação com 2\pi\cdot 8{,}854\times10^{-12}\approx 5{,}567\times10^{-11}.)
  • Agora \ln\!\dfrac{r_B}{r_A}=\ln\!\dfrac{3}{5}=\ln(0{,}6)\approx -0{,}510826.
  • Multiplicando:
V(A)-V(B)\approx 35{,}93\times(-0{,}510826)\approx -18{,}36\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida:
  • O resultado negativo significa que o potencial em A é menor que em B: V(A)<V(B). Faz sentido porque A está mais longe da linha de cargas ( r_A=5\\ \mathrm{m}) que B ( r_B=3\\ \mathrm{m}), e para cargas positivas o potencial diminui com o aumento da distância.
  • Arredondando com duas casas significativas, fica -18{,}4\\ \mathrm{V}.

Resposta

-18{,}4\\ \mathrm{V}

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