Uma linha uniforme de cargas com densidade
está localizada no plano
, paralela ao eixo x em
. Encontre a ddp entre os pontos A e B localizados, respectivamente, em (
.
Passo 1
O enunciado pede a diferença de potencial entre os pontos A e B gerada por uma linha uniforme de cargas. Informações dadas:
- Densidade linear de carga:
. - A linha de carga é paralela ao eixo
e está localizada no plano em . Ou seja, pontos da linha têm coordenadas para todo . - Ponto
: . - Ponto
: . - Queremos a diferença de potencial entre
e : .
Passo 2
Escolha do método: Para uma linha infinita e uniforme de cargas a campo elétrico depende apenas da distância perpendicular
à linha. Vou usar a Lei de Gauss para obter o módulo do campo elétrico
como função de
e depois usar a relação entre potencial e campo
Esse método é o mais direto e padrão para linhas de carga infinitas e evita problemas com constante arbitrária de potencial (trabalhamos com diferença de potencial, que é bem definida).
Passo 3
Cálculo do campo elétrico usando a Lei de Gauss:
- Considere um cilindro gaussiano coaxial com a linha de carga, de raio
(distância perpendicular à linha) e comprimento . - Pela simetria, o campo elétrico tem módulo
radial (no plano ) e é constante na superfície lateral do cilindro. A contribuição nas tampas é zero (campo perpendicular às tampas). - Lei de Gauss:
- A carga interna é
. A integral sobre a superfície lateral é . Portanto,
- Cancelando
,
Aqui
é a distância perpendicular do ponto até a linha de carga;
é a permissividade do vácuo (
).
Passo 4
Relação entre campo e diferença de potencial:
- Tomamos um caminho radial no plano
entre as distâncias (em ) e (em ). Nesse caminho é radial e . - Assim,
- Integramos:
- Reescrevendo de forma útil:
Isto é uma forma prática: a diferença de potencial depende só das distâncias perpendiculares
e
.
Passo 5
Calcular as distâncias perpendiculares
e
da linha:
- A linha está em
. A distância perpendicular de um ponto até a linha é
pois a coordenada
é irrelevante (linha se estende ao longo de
).
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Substituir na fórmula e calcular numericamente:
- Fórmula:
- Valores:
, , , . - Primeiro calcule o fator
:
(Usei aproximação com
.)
- Agora
. - Multiplicando:
Passo 7
Interpretação e verificação rápida:
- O resultado negativo significa que o potencial em
é menor que em : . Faz sentido porque está mais longe da linha de cargas ( ) que ( ), e para cargas positivas o potencial diminui com o aumento da distância. - Arredondando com duas casas significativas, fica
.