Questão
34.69 •• PC CALC Você está dirigindo seu carro em uma estrada a 25 m / s quando olha no espelho retrovisor (um espelho convexo com raio de curvatura de 150 cm ) e nota um caminhão se aproximando. Se a imagem do caminhão está se aproximando do vértice do espelho a uma velocidade de 1,9 m / s, quando o caminhão está a 2,0 m do espelho qual é a velocidade do caminhão em relação à estrada?

Passo 1

O enunciado trata de um espelho convexo (raio de curvatura R=150,cm) fixo no carro que anda a 25,m/s. Quando o caminhão está a 2,0,m do espelho, a imagem virtual dele se aproxima do vértice a 1,9,m/s. Queremos achar a velocidade do caminhão em relação à estrada. O conteúdo usado é a equação de Gauss para espelhos esféricos e sua diferenciação para relacionar velocidades.

Passo 2

O foco de um espelho esférico vale f=R2=1,502=0,75 m, mas como é convexo, adotamos f=-0,75,m. A equação de Gauss é
1do+1di=1f,
onde do (objeto) é positivo e di (imagem) negativo para espelho convexo.

Passo 3

Substituímos do=2,0,m e f=-0,75,m em
12,0+1di=1-0,75 Longrightarrow 1di=-43-12=-116
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di=-611approx -0,545 m

Passo 4

Diferenciando 1do+1di=1/f em relação ao tempo t obtemos
-1do^2,d dodt -1di^2,d didt=0 Longrightarrow d dodt =-do^2di^2,d didt
Aqui d didt=+1,9,m/s (o módulo de di diminui, mas di é negativo e fica menos negativo) e do=2,0, di=-0,545. Assim
d dodt =-(2,0)^2(-0,545)^2times1,9 approx -25,5 m/s
O sinal negativo indica que do está diminuindo a 25,5,m/s, ou seja, o caminhão se aproxima do espelho a essa velocidade relativa ao espelho.

Passo 5

Como o espelho (o carro) se move a 25,m/s para frente e o caminhão se aproxima a 25,5,m/s em relação ao espelho, a velocidade do caminhão em relação ao solo é
vcaminhão =25,0 +25,5 =50,5 m/s ã

Resposta

A velocidade do caminhão em relação à estrada é de aproximadamente 50,5,m/s.

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