As linhas de corrente de um escoamento bidimensional e incompressível são círculos concêntricos (de modo que vr=0 ). Determine a função corrente para
vtheta=A r^-1, onde A é uma constante.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento bidimensional e incompressível em coordenadas polares, cujas linhas de corrente são círculos concêntricos (logo vr=0), e dá a componente azimutal
vtheta=A,r^-1,
sendo A constante. Queremos achar a função corrente psi(r,theta) para esse escoamento. O conteúdo aqui é a definição de função corrente em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares a função corrente psi(r,theta) é definida por
vr=1r,partial psipartial theta, vtheta=-partial psipartial r
Como vr=0, temos
partial psipartial theta=0
e, portanto, psi depende só de r: psi=psi(r).

Passo 3

Como psi=psi(r), a segunda relação fica
vtheta=-dpsidr
e deve ser igual a A,r^-1. Logo
-dpsidr=A,r^-1

Passo 4

Integramos em relação a r:
dpsidr=-A,1r Longrightarrow psi(r)=-Aintegral1r,dr=-Aln r + C,
onde C é uma constante arbitrária.

Resposta

psi(r)=-Aln r + C,
sendo C uma constante de integração (que pode ser escolhida zero).

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