Um liquido é bombeado por um tubo de 2 cm de diâmetro a uma taxa de escoamento de 12 \mathrm{~L} / \mathrm{min}. Calcule a queda de pressão em uma seção horizontal de 10 m se o liquido for:
água a 20^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a queda de pressão ao longo de 10\\ \mathrm{m} de tubo horizontal quando o líquido é água a 20^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos (vou reescrever numericamente para ficar claro):
\begin{aligned} &\text{diâmetro do tubo:}\quad d=2\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m},\\\ &\text{vazão volumétrica:}\quad Q=12\\ \mathrm{L/min}=12{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/min},\\\ &\qquad\text{(convertemos para S.I.:)}\quad Q=\dfrac{12\times 10^{-3}}{60}\\ \mathrm{m^3/s}=0{,}0002\\ \mathrm{m^3/s},\\\ &\text{comprimento considerado:}\quad L=10\\ \mathrm{m},\\\ &\text{fluido: água a }20^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}âãéá
O que se pede:
\text{calcular a queda de pressão }\Delta p\text{ ao longo de }L=10\\ \mathrm{m}.ã

Passo 2

Primeiro precisamos da velocidade média do fluido na seção, que vem da equação da continuidade:
v=\dfrac{Q}{A},
onde A é a área da seção transversal do tubo:
A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}.
Calculemos A e v:
A=\dfrac{\pi (0{,}02)^{2}}{4}=\pi\cdot 1{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}\approx 3{,}1416\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2},
v=\dfrac{0{,}0002}{3{,}1416\times 10^{-4}}\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}6366\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: a vazão volumétrica Q é o volume por segundo que passa; dividindo pela área obtemos a velocidade média.

Passo 3

Precisamos das propriedades da água a 20^\circ\mathrm{C}. Valores padrão:
\rho\\ (\text{densidade})\approx 998\\ \mathrm{kg/m^3},
\mu\\ (\text{viscosidade dinâmica})\approx 1{,}002\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.â
A partir disso obtemos a viscosidade cinemática \nu:
\nu=\dfrac{\mu}{\rho}=\dfrac{1{,}002\times 10^{-3}}{998}\\ \mathrm{m^2/s}\approx 1{,}004\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
Comentário didático: \nu aparece na definição do número de Reynolds; é uma medida de “viscosidade por unidade de massa” e tem unidades de \mathrm{m^2/s}.

Passo 4

Calcule o número de Reynolds para caracterizar o regime de escoamento:
\mathrm{Re}=\dfrac{v d}{\nu}.
Substituindo:
\mathrm{Re}=\dfrac{0{,}6366\times 0{,}02}{1{,}004\times 10^{-6}}\approx 1{,}27\times 10^{4}.
Interpretação: como \mathrm{Re}\gtrsim 4000, o escoamento é turbulento. Portanto a perda por atrito é tratada com fórmulas de regime turbulento.

Passo 5

Precisamos do fator de atrito f para aplicar a equação de Darcy–Weisbach. Em tubos sem especificação de rugosidade e com \mathrm{Re} na faixa aproximada 4\times 10^3 a 10^5, uma correlação prática e simples é a de Blasius (válida para tubos lisos ou praticamente lisos):
f=0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-1/4}.
Vou usar essa aproximação porque o enunciado não fornece rugosidade e \mathrm{Re} está na faixa de validade da correlação.
Explicação didática: o fator de atrito f relaciona quanto a velocidade é “perdida” por atrito; em regime turbulento, f depende de \mathrm{Re} e da rugosidade relativa. Blasius dá uma forma simples quando a rugosidade não domina.

Passo 6

Calcule f pela fórmula de Blasius:
f=0{,}3164\,(1{,}27\times 10^{4})^{-1/4}.
Calculando:
f\approx 0{,}3164\times (1{,}27\times 10^{4})^{-0{,}25}\approx 0{,}0298.

Passo 7

Agora aplicamos a equação de Darcy–Weisbach para a perda de carga (altura equivalente de perda h_f):
h_{f}=f\,\dfrac{L}{d}\,\dfrac{v^{2}}{2g},
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} é a aceleração da gravidade. Vamos calcular cada termo:
\dfrac{L}{d}=\dfrac{10}{0{,}02}=500,
\dfrac{v^{2}}{2g}=\dfrac{(0{,}6366)^{2}}{2\times 9{,}81}\approx 0{,}02066\\ \mathrm{m}.
Logo
h_{f}=0{,}0298\times 500\times 0{,}02066\\ \mathrm{m}\approx 0{,}308\\ \mathrm{m}.
Didática: h_f é a perda de carga expressa como “metros de coluna de fluido” — mostra quanto equivalente de altura seria perdido por atrito.

Passo 8

Convertemos a perda de carga h_f em queda de pressão \Delta p usando:
\Delta p=\rho g h_{f}.
Substituindo:
\Delta p=998\times 9{,}81\times 0{,}308\\ \mathrm{Pa}\approx 3{,}02\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Também é comum expressar em kilopascais:
\Delta p\approx 3{,}02\\ \mathrm{kPa}.

Passo 9

Interpretação final e arredondamento: a queda de pressão ao longo de 10\\ \mathrm{m} é relativamente pequena (alguns kPa). Nota: se o problema desse a rugosidade do tubo, poderíamos usar a equação de Colebrook para um cálculo mais preciso do fator de atrito; aqui usamos Blasius por falta dessa informação e porque \mathrm{Re} está na faixa de validade.

Resposta

\displaystyle \Delta p \approx 3{,}02\\ \text{kPa}\\ \approx 3016\\ \text{Pa}

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