Um liquido é bombeado por um tubo de 2 cm de diâmetro a uma taxa de escoamento de 12 \mathrm{~L} / \mathrm{min}. Calcule a queda de pressão em uma seção horizontal de 10 m se o liquido for:
Glicerina a 20^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule a queda de pressão em uma seção horizontal de 10 m” para glicerina a 20^\circ\mathrm{C} que escoa num tubo de diâmetro 2\\ \mathrm{cm} à vazão de 12\\ \mathrm{L/min}.\n
Informações dadas (já extraídas do enunciado):
D = 2\\ \mathrm{cm}
Q = 12\\ \mathrm{L/min}
L = 10\\ \mathrm{m}
Pergunta a responder:
Calcular a queda de pressão \Delta P ao longo do trecho horizontal de comprimento L=10\\ \mathrm{m} para glicerina a 20^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Primeiro convertemos unidades para o SI (pois as fórmulas que usaremos exigem metros, segundos, metros cúbicos etc.).\n
Diâmetro:
D = 2\\ \mathrm{cm} = 0,02\\ \mathrm{m}.
Vazão volumétrica:
Q = 12\\ \mathrm{L/min} = 12\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/min} = \frac{12\times 10^{-3}}{60}\\ \mathrm{m^3/s} = 2{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Calculamos a área da seção transversal e a velocidade média do escoamento.\n
Área de um círculo (tubo):
A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0,02\\ \mathrm{m}:
A = \frac{\pi (0{,}02)^{2}}{4} = \pi \times 0{,}0001 \approx 3{,}1416\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média V obtida por V = Q/A:
V = \frac{2{,}0\times 10^{-4}}{3{,}1416\times 10^{-4}} \approx 0{,}6366\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida: a velocidade média é a vazão dividida pela área; é o valor que usamos nas fórmulas de perda de carga em tubos.

Passo 4

Precisamos das propriedades físicas da glicerina a 20^\circ\mathrm{C}: massa específica \rho e viscosidade dinâmica \mu. Vou usar valores típicos para glicerina pura a 20^\circ\mathrm{C}:
\rho = 1260\\ \mathrm{kg/m^3},
\mu = 1{,}412\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Comentário: esses números vêm de tabelas de propriedades; se na sua prova a glicerina tiver outra composição, use os valores indicados pelo enunciado.

Passo 5

Calcular o número de Reynolds para saber se o escoamento é laminar ou turbulento. Fórmula do número de Reynolds:
\mathrm{Re} = \frac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é a densidade, V a velocidade média, D o diâmetro e \mu a viscosidade dinâmica.\n
Substituindo os valores:
\mathrm{Re} = \frac{1260 \times 0{,}6366 \times 0{,}02}{1{,}412}.
Faço as multiplicações do numerador passo a passo: 0{,}6366\times 0{,}02 = 0{,}012732. Então
\text{numerador} = 1260 \times 0{,}012732 \approx 16{,}046.
Agora
\mathrm{Re} = \frac{16{,}046}{1{,}412} \approx 11{,}37.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 11{,}37, ou seja, muito menor que 2000. Logo o escoamento é laminar.

Passo 6

Para escoamento laminar em tubo circular a relação entre fator de atrito (fórmula de Darcy) e Reynolds é:
f = \frac{64}{\mathrm{Re}},
onde f é o fator de atrito adimensional (usado na equação de Darcy–Weisbach).\n
Aplicando:
f = \frac{64}{11{,}37} \approx 5{,}629.
Comentário: em escoamentos laminares f pode ser grande (>1) quando \mathrm{Re} é muito pequeno — isso é normal para fluidos muito viscosos e escoamentos lentos.

Passo 7

Agora usamos a equação de Darcy–Weisbach para queda de pressão ao longo de um tubo:
\Delta P = f \,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^{2}}{2},
onde \Delta P é a perda de carga em Pascal, L é o comprimento do trecho, D o diâmetro, \rho a densidade e V a velocidade média.\n
Calculamos primeiro o termo dinâmico \rho V^{2}/2:
\rho \frac{V^{2}}{2} = 1260 \times \frac{(0{,}6366)^{2}}{2}.
Calcule V^{2}=(0{,}6366)^{2}\approx 0{,}4053. Então
\rho \frac{V^{2}}{2} \approx 1260 \times \frac{0{,}4053}{2} = 1260 \times 0{,}20265 \approx 255{,}32\\ \mathrm{Pa}.
Agora o fator geométrico f\frac{L}{D}:
f\frac{L}{D} = 5{,}629 \times \frac{10}{0{,}02} = 5{,}629 \times 500 = 2{,}814{,}5.
Finalmente:
\Delta P = 2{,}814{,}5 \times 255{,}32\\ \mathrm{Pa} \approx 718{,}3\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 8

Fazendo a multiplicação final com mais atenção numérica obtemos:
\Delta P \approx 718{,}3\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa} = 718{,}3\\ \mathrm{kPa} \approx 7{,}183\\ \mathrm{bar}.
Interpretação física: essa é a queda de pressão no trecho de 10\\ \mathrm{m} devido ao atrito viscous da glicerina muito viscosa; é uma queda grande porque a viscosidade é alta e o diâmetro do tubo é pequeno.

Resposta

\Delta P \approx 7{,}18\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa} \n
\Delta P \approx 718{,}3\\ \mathrm{kPa} \n
\Delta P \approx 7{,}18\\ \mathrm{bar}

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