Um tubo de aço comercial ( \varepsilon=0,045 \mathrm{~mm} ) com diâmetro de 150 mm transporta água a 20^{\circ} \mathrm{C} em regime turbulento com número de Reynolds \operatorname{Re}=2 \times 10^{5}.
Utilizando a equação de Colebrook modificada
f=\frac{0,25}{\left[\log \left(\frac{\varepsilon / D}{3,7}+\frac{5,74}{\operatorname{Re}^{0,9}}\right)\right]^{2}}
para determinar:
a) O fator de atrito ff.
b) A velocidade média do escoamento.
c) A queda de pressão (em kPa) em um trecho horizontal de 300 m 300 m de comprimento.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) o fator de atrito f usando a equação de Colebrook modificada, (b) a velocidade média do escoamento V, e (c) a queda de pressão (em kPa) ao longo de um trecho horizontal de comprimento 300\\ \mathrm{m}.
Dados fornecidos:
\varepsilon = 0,045\\ \mathrm{mm},\quad D = 150\\ \mathrm{mm},\quad \operatorname{Re} = 2\times10^{5},\quad T=20^\circ\mathrm{C},\quad L = 300\\ \mathrm{m}.
Observações importantes que usarei (valores típicos à 20^\circ\mathrm{C}):
\text{cinemática da água: }\nu \approx 1,004\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s},\qquad \rho \approx 998\\ \mathrm{kg/m^{3}}.áá

Passo 2

Converto todas as unidades para o SI antes de calcular:
\varepsilon = 0,045\\ \mathrm{mm} = 4,5\times10^{-5}\\ \mathrm{m},\qquad D = 150\\ \mathrm{mm} = 0,15\\ \mathrm{m}.
Calculo a rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D} = \frac{4,5\times10^{-5}}{0,15} = 3\times10^{-4}.

Passo 3

Vou calcular o fator de atrito f usando a fórmula dada (é uma forma explícita análoga à de Swamee–Jain). A fórmula é:
f=\frac{0,25}{\left[\log\!\left(\frac{\varepsilon / D}{3,7}+\frac{5,74}{\operatorname{Re}^{0,9}}\right)\right]^{2}}.
Aqui \log é o logaritmo na base 10. Vou calcular cada termo passo a passo.
Primeiro o termo \dfrac{\varepsilon/D}{3,7}:
\frac{\varepsilon/D}{3,7}=\frac{3\times10^{-4}}{3,7}=8,108108\times10^{-5}.
Agora \operatorname{Re}^{0,9}:
\operatorname{Re}^{0,9}=(2\times10^{5})^{0,9}\approx 5,90\times10^{4}.
Então
\frac{5,74}{\operatorname{Re}^{0,9}}\approx\frac{5,74}{5,90\times10^{4}}=9,73\times10^{-5}.
Somando os dois termos dentro do logaritmo:
\frac{\varepsilon / D}{3,7}+\frac{5,74}{\operatorname{Re}^{0,9}} \approx 8,108108\times10^{-5}+9,73\times10^{-5}=1,7837\times10^{-4}.
Agora o logaritmo na base 10:
\log_{10}\!(1,7837\times10^{-4})\approx -3,7483.
Ele é negativo porque o argumento é menor que 1; ao quadrar o valor o sinal desaparece:
\left[\log_{10}(\cdot)\right]^{2}\approx (-3,7483)^{2}=14,053.
Finalmente o fator de atrito:
f=\frac{0,25}{14,053}\approx 0,01779.
Portanto o valor calculado é f\approx 0,01779.

Passo 4

Calculo a velocidade média V a partir do número de Reynolds. Lembro que
\operatorname{Re}=\frac{V D}{\nu},
onde V é a velocidade média, D o diâmetro e \nu a viscosidade cinemática. Isolando V:
V=\frac{\operatorname{Re}\,\nu}{D}.
Substituindo os valores ( \nu\approx 1,004\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}):
V=\frac{2\times10^{5}\times 1,004\times10^{-6}}{0,15} =\frac{0,2008}{0,15}\approx 1,339\\ \mathrm{m/s}.
Portanto V\approx 1,34\\ \mathrm{m/s} (arredondando para duas casas significativas).

Passo 5

Agora calculo a queda de pressão no trecho L=300\\ \mathrm{m}. Uso a equação de Darcy–Weisbach:
\Delta P = f\frac{L}{D}\cdot\frac{\rho V^{2}}{2},
onde \rho é a densidade do fluido (água). Vou calcular cada termo.
Razão comprimento/diâmetro:
\frac{L}{D}=\frac{300}{0,15}=2000.
Energia dinâmica por unidade de volume ( \rho V^{2}/2):
V^{2}\approx 1,339^{2}\approx 1,792,
\frac{\rho V^{2}}{2}\approx\frac{998\times1,792}{2}\approx 894,2\\ \mathrm{Pa}.
Fator multiplicador f\frac{L}{D}:
f\frac{L}{D}\approx 0,01779\times2000=35,58.
Portanto a queda de pressão:
\Delta P \approx 35,58\times 894,2\\ \mathrm{Pa}\approx 3,182\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para kPa:
\Delta P \approx 31,82\\ \mathrm{kPa}.

Passo 6

Interpretação final e arredondamentos práticos:
  • O fator de atrito calculado é f\approx 0,0178.
  • A velocidade média do escoamento é V\approx 1,34\\ \mathrm{m/s}.
  • A queda de pressão ao longo de 300\\ \mathrm{m} é \Delta P\approx 31,8\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

f=0{,}0178
V=1{,}34\\ \mathrm{m/s}
\Delta P=31{,}8\\ \mathrm{kPa}

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