Para um líquido com valores típicos \alpha=10^{-3} \mathrm{~K}^{-1}, \kappa=10^{-4} \mathrm{atm}^{-1}, V_{\mathrm{m}}=50 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{mol}, C_{P, \mathrm{~m}}=150 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \mathrm{K}, calcule a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm:
(b) (\partial H_{\mathrm{m}} / \partial P)_{T}

Passo 1

O que o exercício pede: calcular \left(\partial H_{\mathrm{m}}/\partial P\right)_{T} para um líquido nas condições T=25^\circ\mathrm{C} e P=1\\ \mathrm{atm}.
Informações dadas:
\alpha = 10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1},\qquad \kappa = 10^{-4}\\ \mathrm{atm}^{-1},\qquad V_{\mathrm{m}} = 50\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol},\qquad C_{P,\mathrm{m}} = 150\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol}\,\mathrm{K}.
Nota: o enunciado pede somente \left(\partial H_{\mathrm{m}}/\partial P\right)_{T}; as demais grandezas foram fornecidas como informação adicional. Vou usar T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Começo trazendo uma identidade termodinâmica útil para a entalpia molar. A diferencial da entalpia é
\mathrm{d}H = T\,\mathrm{d}S + V\,\mathrm{d}P.
Isso significa que, para grandezas molares,
\mathrm{d}H_{\mathrm{m}} = T\,\mathrm{d}S_{\mathrm{m}} + V_{\mathrm{m}}\,\mathrm{d}P.
Aqui H_{\mathrm{m}} é a entalpia por mol, S_{\mathrm{m}} é a entropia por mol, V_{\mathrm{m}} é o volume molar, T é a temperatura absoluta e P a pressão.

Passo 3

A partir da expressão diferencial, a derivada parcial que precisamos pode ser escrita como
\left(\frac{\partial H_{\mathrm{m}}}{\partial P}\right)_{T} = T\left(\frac{\partial S_{\mathrm{m}}}{\partial P}\right)_{T} + V_{\mathrm{m}}.
Agora precisamos trocar \left(\partial S_{\mathrm{m}}/\partial P\right)_{T} por algo que conhecemos. Usamos uma relação de Maxwell que vem do potencial de Gibbs.

Passo 4

Recordando que o potencial de Gibbs G satisfaz \mathrm{d}G = -S\,\mathrm{d}T + V\,\mathrm{d}P, tem-se
S = -\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_{P},\qquad V = \left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_{T}.
Tomando derivadas mistas e trocando a ordem, obtemos a relação de Maxwell
\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T} = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
Aplicando isso às grandezas molares:
\left(\frac{\partial S_{\mathrm{m}}}{\partial P}\right)_{T} = -\left(\frac{\partial V_{\mathrm{m}}}{\partial T}\right)_{P}.

Passo 5

Substituindo na fórmula do Passo 3:
\left(\frac{\partial H_{\mathrm{m}}}{\partial P}\right)_{T} = V_{\mathrm{m}} - T\left(\frac{\partial V_{\mathrm{m}}}{\partial T}\right)_{P}.
Essa é uma expressão geral exata. Agora precisamos expressar \left(\partial V_{\mathrm{m}}/\partial T\right)_{P} em termos do coeficiente de expansão térmica.

Passo 6

Definição do coeficiente de expansão térmica \alpha:
\alpha \equiv \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}.
Para a quantidade molar isso vira
\left(\frac{\partial V_{\mathrm{m}}}{\partial T}\right)_{P} = \alpha\,V_{\mathrm{m}}.
Substituindo na expressão do Passo 5:
\left(\frac{\partial H_{\mathrm{m}}}{\partial P}\right)_{T} = V_{\mathrm{m}} - T\,\alpha\,V_{\mathrm{m}} = V_{\mathrm{m}}\left(1 - \alpha T\right).
Esta fórmula é muito prática: basta conhecer V_{\mathrm{m}}, \alpha e T.

Passo 7

Agora vamos calcular numericamente. Primeiro converter V_{\mathrm{m}} para unidades SI:
V_{\mathrm{m}} = 50\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol} = 50\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{mol} = 5{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}.
Temperatura:
T = 25^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
Calcular \alpha T:
\alpha T = 10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1}\times 298{,}15\\ \mathrm{K} = 0{,}29815.
Logo
1-\alpha T = 1 - 0{,}29815 = 0{,}70185.

Passo 8

Multiplicando:
\left(\frac{\partial H_{\mathrm{m}}}{\partial P}\right)_{T} = 5{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}\times 0{,}70185 = 3{,}50925\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}.
Arredondando de forma razoável (3 algarismos significativos):
\left(\frac{\partial H_{\mathrm{m}}}{\partial P}\right)_{T} \approx 3{,}51\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 9

Interpretação de unidades e conversão para \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{atm}^{-1}: como 1\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^{3}=1\\ \mathrm{J} e 1\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}, multiplicamos o valor em \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1} por 1{,}01325\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa/atm} para obter a variação de entalpia por atm:
3{,}50925\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}\times 1{,}01325\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa/atm} \approx 3{,}56\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{atm}^{-1}.
Ou seja, ao aumentar a pressão em 1\\ \mathrm{atm} (a 25^\circ\mathrm{C}) a entalpia molar varia cerca de +3{,}56\\ \mathrm{J/mol}.

Resposta

3{,}51\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}
3{,}56\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{atm}^{-1}

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