Para um líquido com valores típicos
, calcule a
e 1 atm:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular, à temperatura de
e pressão
, a derivada parcial
Dados fornecidos (valores típicos para o líquido):
Também temos as condições de cálculo:
e
. (Observação: vou usar
em kelvin quando necessário;
.)
Passo 2
Vamos escrever uma identidade termodinâmica que liga
a
e
. A primeira lei na forma de energia livre interna dá
Derivando parcialmente em
a temperatura constante obtemos
Explico: aqui
é a energia interna por mol (ou por quantidade escolhida),
é entropia,
temperatura,
pressão e
volume. A expressão diz que a variação de energia interna com volume, à temperatura fixa, vem de quanto a entropia muda com o volume (multiplicado por
) menos a pressão.
Passo 3
Usamos uma relação de Maxwell que transforma
em derivada de pressão:
Portanto
Agora precisamos encontrar
em termos de
e
, que são os dados que temos.
Passo 4
Parte prática: escrever
e usar diferencial total. Temos
Tomando a variação a volume constante (
) e resolvendo para
obtemos
Agora substituímos as definições do coeficiente de expansão térmica
e da compressibilidade isoterma
:
Substituindo na expressão para
,
Observação didática: o volume
cancela — portanto
depende apenas de
e
, não do valor numérico de
.
Passo 5
Voltando à fórmula de
,
Essa é uma fórmula prática bem conhecida: ela nos dá a derivada da energia interna com o volume à temperatura constante em termos de propriedades macroscópicas medíveis.
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro a temperatura em kelvin:
Calculemos
:
Subtraindo
,
Passo 7
Converson to SI (se preferir Pa). Usando
,
Portanto o resultado fica numa escala de algumas centenas de MPa, o que é típico: para líquidos a derivada
é grande e positiva porque
costuma ser grande.