Para um líquido com valores típicos \alpha=10^{-3} \mathrm{~K}^{-1}, \kappa=10^{-4} \mathrm{atm}^{-1}, V_{\mathrm{m}}=50 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{mol}, C_{P, \mathrm{~m}}=150 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \mathrm{K}, calcule a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm:
(e) \left(\partial S_{\mathrm{m}} / \partial P\right)_{T}

Passo 1

O que o problema pede: calcular \left(\partial S_{\mathrm{m}}/\partial P\right)_{T} para o líquido nas condições 25^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}.
Dados fornecidos:
\alpha = 10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1},\qquad \kappa = 10^{-4}\\ \mathrm{atm}^{-1},\qquad V_{\mathrm{m}} = 50\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol},\qquad C_{P,\mathrm{m}} = 150\\ \mathrm{J}/(\mathrm{mol\\ K}).
Anotei todos os dados relevantes do enunciado. (Mais à frente direi quais desses dados realmente vamos usar.)

Passo 2

Vamos usar uma relação termodinâmica (Maxwell) que liga derivadas de entropia e volume. Parto da diferencial da energia de Gibbs molar:
\mathrm{d}G_{\mathrm{m}} = -S_{\mathrm{m}}\,\mathrm{d}T + V_{\mathrm{m}}\,\mathrm{d}P.
Dessa expressão, trocando a ordem das derivadas cruzadas, obtemos a relação de Maxwell:
\left(\frac{\partial S_{\mathrm{m}}}{\partial P}\right)_{T} = -\left(\frac{\partial V_{\mathrm{m}}}{\partial T}\right)_{P}.
Explicando de forma simples: a variação da entropia com pressão a temperatura constante é (menos) a variação do volume com temperatura à pressão constante.

Passo 3

Agora expresso \left(\partial V_{\mathrm{m}}/\partial T\right)_{P} em função do coeficiente de expansão térmica \alpha. Por definição do coeficiente de expansão volumétrica:
\alpha \equiv \frac{1}{V_{\mathrm{m}}}\left(\frac{\partial V_{\mathrm{m}}}{\partial T}\right)_{P}.
Isolando a derivada:
\left(\frac{\partial V_{\mathrm{m}}}{\partial T}\right)_{P} = \alpha\,V_{\mathrm{m}}.

Passo 4

Combino as duas relações:
\left(\frac{\partial S_{\mathrm{m}}}{\partial P}\right)_{T} = -\alpha\,V_{\mathrm{m}}.
Ou seja, basta multiplicar \alpha pelo volume molar (com as unidades corretas) e colocar o sinal negativo. Agora faço as conversões de unidades para obter um número com significado prático.

Passo 5

Converto o volume molar para SI (metros cúbicos por mol):
V_{\mathrm{m}} = 50\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol} = 50\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol} = 5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.
Calculo \alpha V_{\mathrm{m}} (unidade: \mathrm{m}^3/(\mathrm{mol\\ K}), que é equivalente a \mathrm{J}/(\mathrm{mol\\ K\\ Pa}) porque 1\\ \mathrm{Pa\cdot m}^3=1\\ \mathrm{J}):
\alpha V_{\mathrm{m}} = (1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1})\times(5{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}) = 5{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{m}^3/(\mathrm{mol\\ K}).
Portanto, em unidades por pascal:
\left(\frac{\partial S_{\mathrm{m}}}{\partial P}\right)_{T} = -5{,}0\times10^{-8}\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol\\ K\\ Pa}}.

Passo 6

O enunciado tratou pressão em \mathrm{atm}. Para obter o valor em \mathrm{J}/(\mathrm{mol\\ K\\ atm}) faço a conversão usando 1\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Pela regra da cadeia:
\left(\frac{\partial S_{\mathrm{m}}}{\partial P}\right)_{T,\\ \mathrm{per\\ atm}} = \left(\frac{\partial S_{\mathrm{m}}}{\partial P}\right)_{T,\\ \mathrm{per\\ Pa}}\times(1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa/atm}).
Substituindo:
\left(\frac{\partial S_{\mathrm{m}}}{\partial P}\right)_{T} = -5{,}0\times10^{-8}\times1{,}01325\times10^{5} = -5{,}06625\times10^{-3}\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol\\ K\\ atm}}.
Arredondando com três algarismos significativos:
\left(\frac{\partial S_{\mathrm{m}}}{\partial P}\right)_{T}\approx -5{,}07\times10^{-3}\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol\\ K\\ atm}}.

Resposta

-5{,}07\times10^{-3}\\ \mathrm{J}\,/(\mathrm{mol\\ K\\ atm})

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