Para um líquido com valores típicos \alpha=10^{-3} \mathrm{~K}^{-1}, \kappa=10^{-4} \mathrm{atm}^{-1}, V_{\mathrm{m}}=50 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{mol}, C_{P, \mathrm{~m}}=150 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \mathrm{K}, calcule a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm:
(f) C_{V, \mathrm{~m}}

Passo 1

O que o exercício pede e os dados que temos.
Queremos calcular o calor molar a volume constante \,C_{V,\mathrm{m}}\, para um líquido nas condições 25^\circ\mathrm{C} e 1 atm, a partir dos dados típicos fornecidos. Dados fornecidos (todos listados em TeX):
\alpha = 10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1},
\kappa = 10^{-4}\\ \mathrm{atm}^{-1},
V_{\mathrm{m}} = 50\\ \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol},
C_{P,\mathrm{m}} = 150\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol}\,\mathrm{K},
temperatura: \,25^\circ\mathrm{C} = 298{,}15\\ \mathrm{K}.
Resumo do pedido: calcular \,C_{V,\mathrm{m}} usando os dados acima.

Passo 2

Qual fórmula usamos e por que.
Existe uma relação termodinâmica geral entre C_P e C_V que vale para qualquer substância (sólido, líquido ou gás), dada por
C_P - C_V = -T\frac{\bigl(\partial V/\partial T\bigr)_P^{\,2}}{\bigl(\partial V/\partial P\bigr)_T}.
Explico as grandezas:
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin).
  • V é o volume (no nosso caso usaremos o volume molar V_{\mathrm{m}}).
  • \bigl(\partial V/\partial T\bigr)_P é a variação do volume com a temperatura à pressão constante.
  • \bigl(\partial V/\partial P\bigr)_T é a variação do volume com a pressão à temperatura constante.
Agora relacionamos esses derivados com os coeficientes conhecidos:
  • O coeficiente de dilatação térmica é \displaystyle \alpha=\frac{1}{V}\bigl(\partial V/\partial T\bigr)_P, logo \displaystyle \bigl(\partial V/\partial T\bigr)_P=\alpha V.
  • A compressibilidade isotérmica é \displaystyle \kappa_T=-\frac{1}{V}\bigl(\partial V/\partial P\bigr)_T, logo \displaystyle \bigl(\partial V/\partial P\bigr)_T=-\kappa_T V.
Substituindo esses resultados na expressão para C_P-C_V obtemos (faça a substituição passo a passo):
C_P - C_V = -T\frac{(\alpha V)^2}{-\kappa_T V} = T\frac{V\alpha^2}{\kappa_T}.
Para quantidades molares trocamos V por V_{\mathrm{m}} e C_P, C_V pelas versões molares:
\boxed{\,C_{P,\mathrm{m}} - C_{V,\mathrm{m}} = \dfrac{T\,V_{\mathrm{m}}\,\alpha^2}{\kappa_T}\,.}
Essa é a fórmula que vamos aplicar. Observação importante sobre unidades: \kappa_T deve estar em unidades compatíveis com V_{\mathrm{m}} e T (SI é o mais seguro: \mathrm{Pa}^{-1} para \kappa_T, \mathrm{m}^3/\mathrm{mol} para V_{\mathrm{m}}, K para T e J para energia).

Passo 3

Conversão de unidades (faça com calma, é onde muitos erram).
  • Converter o volume molar de \mathrm{cm}^3/\mathrm{mol} para \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}:
1\\ \mathrm{cm}^3 = 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3 \quad\Rightarrow\quad V_{\mathrm{m}}=50\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}=5{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{mol}.
  • Converter a compressibilidade de \mathrm{atm}^{-1} para \mathrm{Pa}^{-1}. Sabemos que 1\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Assim
\kappa_T = 10^{-4}\\ \mathrm{atm}^{-1} = \dfrac{10^{-4}}{1{,}01325\times 10^{5}}\\ \mathrm{Pa}^{-1} =9{,}8692\times 10^{-10}\\ \mathrm{Pa}^{-1}\quad(\text{aprox.}).
  • O coeficiente \alpha já está em \mathrm{K}^{-1} e T em kelvin é \,T=298{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular a diferença C_{P,\mathrm{m}}-C_{V,\mathrm{m}} numericamente, passo a passo.
Primeiro calcule \alpha^2:
\alpha^2 = (10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1})^2 = 10^{-6}\\ \mathrm{K}^{-2}.
Calcule o produto T\,V_{\mathrm{m}}\,\alpha^2:
T\,V_{\mathrm{m}}\,\alpha^2 = 298{,}15\times 5{,}0\times 10^{-5}\times 10^{-6} =298{,}15\times 5{,}0\times 10^{-11} =1{,}49075\times 10^{-8}\\ \mathrm{(unidades\;J\;?)}.
Agora divida por \kappa_T (em \mathrm{Pa}^{-1}):
\Delta C \equiv C_{P,\mathrm{m}}-C_{V,\mathrm{m}} =\dfrac{1{,}49075\times 10^{-8}}{9{,}8692\times 10^{-10}} \approx 15{,}1\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol}\,\mathrm{K}.
Interpretação: a diferença entre C_P e C_V para um líquido com esses parâmetros é de aproximadamente 15{,}1\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol}\,\mathrm{K}.

Passo 5

Calcular C_{V,\mathrm{m}} a partir de C_{P,\mathrm{m}}.
Usamos
C_{V,\mathrm{m}} = C_{P,\mathrm{m}} - \Delta C.
Substituindo os números:
C_{V,\mathrm{m}} = 150{,}0 - 15{,}1 = 134{,}9\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol}\,\mathrm{K}.
Arredondando de forma prática (duas ou três algarismos significativos, condizentes com dados), podemos escrever C_{V,\mathrm{m}}\approx 135\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol}\,\mathrm{K}.

Resposta

C_{V,\mathrm{m}} \approx 134{,}9\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol}\,\mathrm{K}

Exercícios relacionados