Em uma lista de 15 famílias (domicílios), 9 possuem casa própria e 6 não possuem. Quatro famílias são aleatoriamente selecionadas dentre essas 15 famílias. Encontre a probabilidade de que o número de famílias que possuam casa própria, entre essas 4, seja
exatamente 3

Passo 1

O enunciado diz que temos uma “população” de 15 famílias, das quais 9 têm casa própria (sucesso) e 6 não têm (fracasso). Vamos selecionar 4 famílias sem reposição e queremos a probabilidade de exatamente 3 sucessos (famílias com casa própria). O conteúdo é distribuição hipergeométrica e contagem combinatória.

Passo 2

Na distribuição hipergeométrica, a probabilidade de obter exatamente k sucessos numa amostra de tamanho n, retirada de uma população de tamanho N com K sucessos, é
P(X = k) \;=\; \frac{\binom{K}{k}\,\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}.
Aqui, N=15, K=9, n=4 e k=3. Logo
P(X=3) \;=\; \frac{\binom{9}{3}\,\binom{6}{1}}{\binom{15}{4}}.

Passo 3

Vamos calcular cada combinação:
\binom{9}{3} = \frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1} = 84, \qquad \binom{6}{1} = 6, \qquad \binom{15}{4} = \frac{15\cdot14\cdot13\cdot12}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = 1365.

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula:
P(X=3) = \frac{84 \times 6}{1365} = \frac{504}{1365}.
Agora simplificamos a fração dividindo numerador e denominador por 21:
\frac{504}{1365} = \frac{24}{65} \approx 0{,}3692.

Resposta

\displaystyle \frac{24}{65} (aproximadamente 0{,}3692).

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