A Mania Corporation compra motores para ventiladores elétricos de outra empresa que garante que no máximo 5 \% de seus motores apresentam algum defeito, e que irá substituir qualquer motor defeituoso, sem nenhum custo para a Mania Corporation. Os motores são recebidos em grandes remessas. O departamento de controle da qualidade da Mania Corporation seleciona aleatoriamente 20 motores de cada remessa, e os inspeciona para verificar se são perfeitos ou defeituosos. Caso essa amostra contenha mais do que dois motores com defeito, toda a remessa é rejeitada.
a. Utilizando a tabela de probabilidades apropriada do Apêndice C, encontre a probabilidade de que uma determinada remessa de motores recebida pela Mania Corporation venha a ser aceita. Suponha que 5 \% de todos os motores recebidos sejam defeituosos.
b. Utilizando a tabela de probabilidades apropriada do Apêndice C, encontre a probabilidade de que uma determinada remessa de motores recebida, pela Mania Corporation, venha a ser rejeitada.

Passo 1

O enunciado diz que a Mania Corporation inspeciona uma amostra de n=20 motores, cada um com probabilidade p=0,05 de estar defeituoso, e que a remessa é aceita se houver no máximo 2 defeituosos. O conteúdo usado aqui é a distribuição binomial para modelar o número de motores defeituosos na amostra.

Passo 2

Seja X a variável aleatória que conta o número de motores defeituosos na amostra. Então
X \sim \text{Binomial}(n=20,\;p=0,05).
A remessa é aceita quando X\le2, logo
P(\text{aceitar}) = P(X\le2) = \sum_{k=0}^{2} P(X=k).

Passo 3

Pela fórmula da binomial temos
P(X=k) = \binom{20}{k}\,(0,05)^{k}\,(0,95)^{20-k}.
Usando a tabela de probabilidades (Apêndice C) ou calculando diretamente, obtemos os valores para k=0,1,2.

Passo 4

Calcular cada termo:
P(X=0) = (0,95)^{20} \approx 0,3585,
P(X=1) = 20\cdot0,05\cdot(0,95)^{19} \approx 0,3774,
P(X=2) = \binom{20}{2}\,(0,05)^{2}\,(0,95)^{18} =190\cdot0,0025\cdot(0,95)^{18}\approx 0,1887.

Passo 5

Somando os três termos, obtemos a probabilidade de aceitação:
P(\text{aceitar}) = 0,3585 + 0,3774 + 0,1887 = 0,9246\\ (\text{aprox}).

Passo 6

A probabilidade de rejeição é o complementar:
P(\text{rejeitar}) = 1 - P(X\le2) = 1 - 0,9246 = 0,0754\\ (\text{aprox}).

Resposta

(a) 0,9246
(b) 0,0754

Exercícios relacionados