Lista de Exercícios
integral csc ^4(x) cot ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral csc^4(x) cot^2(x) , dx. Estamos no assunto de cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que csc(x) é igual a 1/sin(x) e cot(x) é igual a cos(x)/sin(x). Mas, para facilitar, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona cot(x) e csc(x):
cot^2(x) = csc^2(x) - 1
Isso vai ajudar a simplificar nossa integral.

Passo 3

Vamos reescrever a integral original usando essa identidade:
integral csc^4(x) cot^2(x) , dx = integral csc^4(x) ( csc^2(x) - 1 ) , dx
Agora, distribuímos csc^4(x):
= integral csc^6(x) - csc^4(x) , dx

Passo 4

Agora, temos duas integrais separadas:
integral csc^6(x) , dx - integral csc^4(x) , dx
Vamos resolver cada uma delas separadamente. Vamos começar com integral csc^6(x) , dx.

Passo 5

Para integrar csc^6(x), vamos usar a substituição. Sabemos que a derivada de cot(x) é -csc^2(x), então vamos deixar u = cot(x). Então, du = -csc^2(x) , dx, ou seja, -du = csc^2(x) , dx.

Passo 6

Reescrevemos csc^6(x) como csc^4(x) cdot csc^2(x):
integral csc^6(x) , dx = integral csc^4(x) cdot csc^2(x) , dx
Agora, usando a substituição u = cot(x), temos:
= integral csc^4(x) cdot (-du)

Passo 7

Expressamos csc^4(x) em termos de u. Sabemos que csc^2(x) = 1 + cot^2(x), então:
csc^4(x) = (csc^2(x))^2 = (1 + cot^2(x))^2 = (1 + u^2)^2
Então, a integral fica:
= -integral (1 + u^2)^2 , du

Passo 8

Agora, expandimos (1 + u^2)^2:
(1 + u^2)^2 = 1 + 2u^2 + u^4
Então, a integral se torna:
= -integral (1 + 2u^2 + u^4) , du = -( integral 1 , du + 2integral u^2 , du + integral u^4 , du )

Passo 9

Calculamos cada integral separadamente:
integral 1 , du = u
integral u^2 , du = u^33
integral u^4 , du = u^55
Então, substituindo de volta:
- ( u + 2 cdot u^33 + u^55 ) + C = -u - 2u^33 - u^55 + C

Passo 10

Lembrando que u = cot(x), substituímos de volta:
- cot(x) - 2cot^3(x)3 - cot^5(x)5 + C
Agora, voltamos à nossa integral original que era integral csc^6(x) , dx - integral csc^4(x) , dx. Já resolvemos a primeira parte, agora precisamos resolver integral csc^4(x) , dx.

Passo 11

Para integral csc^4(x) , dx, fazemos uma substituição similar. Deixe u = cot(x), então du = -csc^2(x) , dx, ou -du = csc^2(x) , dx.
Expressamos csc^4(x) como csc^2(x) cdot csc^2(x) = csc^2(x) (1 + cot^2(x)) = csc^2(x) (1 + u^2).
Então, a integral fica:
integral csc^4(x) , dx = integral csc^2(x) (1 + u^2) , dx = -integral (1 + u^2) , du

Passo 12

Resolvemos a integral:
- integral (1 + u^2) , du = - ( integral 1 , du + integral u^2 , du ) = - ( u + u^33 ) + C = -u - u^33 + C
Substituindo u = cot(x):
- cot(x) - cot^3(x)3 + C

Passo 13

Agora, colocamos tudo junto na integral original:
integral csc^6(x) cot^2(x) , dx = ( -cot(x) - 2cot^3(x)3 - cot^5(x)5 ) - ( -cot(x) - cot^3(x)3 ) + C
Simplificando:
= -cot(x) - 2cot^3(x)3 - cot^5(x)5 + cot(x) + cot^3(x)3 + C
Os termos -cot(x) e +cot(x) se cancelam, e -2cot^3(x)3 + cot^3(x)3 = -cot^3(x)3.

Resposta

Então, a integral é:
integral csc^4(x) cot^2(x) , dx = -cot^3(x)3 - cot^5(x)5 + C
Onde C é a constante de integração.

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