Lista de Exercícios
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Estamos no assunto de cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é igual a
e
é igual a
. Mas, para facilitar, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona
e
:
Isso vai ajudar a simplificar nossa integral.
Passo 3
Vamos reescrever a integral original usando essa identidade:
Agora, distribuímos
:
Passo 4
Agora, temos duas integrais separadas:
Vamos resolver cada uma delas separadamente. Vamos começar com
.
Passo 5
Para integrar
, vamos usar a substituição. Sabemos que a derivada de
é
, então vamos deixar
. Então,
, ou seja,
.
Passo 6
Reescrevemos
como
:
Agora, usando a substituição
, temos:
Passo 7
Expressamos
em termos de
. Sabemos que
, então:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, expandimos
:
Então, a integral se torna:
Passo 9
Calculamos cada integral separadamente:
Então, substituindo de volta:
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Agora, voltamos à nossa integral original que era
. Já resolvemos a primeira parte, agora precisamos resolver
.
Passo 11
Para
, fazemos uma substituição similar. Deixe
, então
, ou
.
Expressamos
como
.
Então, a integral fica:
Passo 12
Resolvemos a integral:
Substituindo
:
Passo 13
Agora, colocamos tudo junto na integral original:
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam, e
.
Resposta
Então, a integral é:
Onde
é a constante de integração.