Verifique, em cada uma das letras seguintes, se a série dada é convergente; e, em sendo, se absoluta ou condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left[2^{n}-(-3)^{n}\right]}{(2 n)!-n!}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad a_n = \frac{2^n - (-3)^n}{(2n)! - n!}
e verificar se ela converge, e em caso afirmativo se é convergente absoluta ou condicionalmente. O conteúdo principal aqui são testes de convergência de séries de termos gerais, em particular o teste da razão, e a definição de convergência absoluta.

Passo 2

Para grandes n, o fatorial (2n)! domina n!, de modo que
(2n)! - n! \sim (2n)!.
Além disso, no numerador temos
2^n - (-3)^n,
cujo módulo satisfaz
\lvert 2^n - (-3)^n\rvert \le 2^n + 3^n \sim 3^n.
Logo, em módulo o termo geral se comporta como
\bigl\lvert a_n\bigr\rvert \approx \frac{3^n}{(2n)!},
que decai muito rápido.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão na série dos valores absolutos \sum \lvert a_n\rvert. Seja
b_n = \frac{\lvert 2^n - (-3)^n\rvert}{(2n)! - n!}.
Então
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\lvert 2^{n+1}-(-3)^{n+1}\rvert}{\lvert 2^n-(-3)^n\rvert} \;\times\; \frac{(2n)! - n!}{(2n+2)! - (n+1)!}.
Para n\to\infty vale
\frac{\lvert 2^{n+1}-(-3)^{n+1}\rvert}{\lvert 2^n-(-3)^n\rvert} \;\longrightarrow\;3,
e
\frac{(2n)!}{(2n+2)!} =\frac1{(2n+2)(2n+1)} \;\longrightarrow\;0,
de modo que
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=0<1.
Pelo teste da razão, \sum b_n converge.

Passo 4

Como \sum b_n=\sum\lvert a_n\rvert converge, a série original \sum a_n converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência (e não há só converge condicional).

Resposta

A série converge absolutamente.

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