Lista de exercícios de Cálculo III - Integrais de linha
4. Seja C o segmento de extremidades A=(1,2,3) e B=(4,5,6).
a. Parametrize C.
b. Calcule \int_{C}(x+y+z) d s.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização do segmento de reta C que vai de A=(1,2,3) a B=(4,5,6) e, em seguida, o cálculo da integral de linha de função escalar f(x,y,z)=x+y+z ao longo de C. Para isso, usaremos a parametrização típica de um segmento e a definição
\int_{C}f\,\mathrm{d}s = \int_{a}^{b} f\bigl(r(t)\bigr)\,\bigl\|r'(t)\bigr\|\,\mathrm{d}t.

Passo 2

Parametrizamos C por
r(t)=A + t\,(B-A) \quad,\quad 0\le t\le1.
Como B-A=(4-1,5-2,6-3)=(3,3,3), temos
r(t)=\bigl(1+3t,\;2+3t,\;3+3t\bigr), \quad 0\le t\le1.

Passo 3

Calculamos a derivada r'(t) e seu módulo:
r'(t) = (3,3,3), \qquad \bigl\|r'(t)\bigr\| = \sqrt{3^2+3^2+3^2} = 3\sqrt{3}.

Passo 4

Expressamos f ao longo da curva e montamos a integral:
f\bigl(r(t)\bigr) = (1+3t)+(2+3t)+(3+3t) =6+9t,
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\int_{C}(x+y+z)\,\mathrm{d}s = \int_{0}^{1} (6+9t)\,\bigl(3\sqrt{3}\bigr)\,\mathrm{d}t.

Passo 5

Avaliamo-la:
\int_{0}^{1} (6+9t)\,3\sqrt{3}\,\mathrm{d}t =3\sqrt{3}\int_{0}^{1}(6+9t)\,\mathrm{d}t =3\sqrt{3}\Bigl[6t+\tfrac{9t^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} =3\sqrt{3}\bigl(6+\tfrac{9}{2}\bigr) =\tfrac{63}{2}\sqrt{3}.

Resposta

a. \displaystyle r(t)=(1+3t,\;2+3t,\;3+3t), 0\le t\le1.
b. \displaystyle \int_{C}(x+y+z)\,\mathrm{d}s = \frac{63}{2}\sqrt{3}.

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