• LiSTA DE EXERCÍCIOS. INTEGRAIS DUPLAS.
    ((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
    (a) \int_{1}^{2} \int_{0}^{3} x y^{2} d x d y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de integrais duplas que você mandou! O problema pede para calcular a integral dupla iterada:
\int_{1}^{2} \int_{0}^{3} x y^{2} \, dx \, dy
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes ou outras quantidades em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a que está em relação a x:
\int_{0}^{3} x y^{2} \, dx
Como y é tratado como uma constante nessa integração (porque estamos integrando em relação a x), podemos simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 3

Vamos integrar x y^{2} com respeito a x. A integral de x em relação a x é:
\int x \, dx = \frac{x^{2}}{2}
Então, a integral interna fica:
\int_{0}^{3} x y^{2} \, dx = y^{2} \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{3}

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da integral interna substituindo os limites de x:
y^{2} \left( \frac{3^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2} \right) = y^{2} \left( \frac{9}{2} - 0 \right) = \frac{9}{2} y^{2}
Então, a integral dupla agora fica:
\int_{1}^{2} \frac{9}{2} y^{2} \, dy

Passo 5

Agora, vamos integrar \frac{9}{2} y^{2} em relação a y:
\frac{9}{2} \int y^{2} \, dy
A integral de y^{2} em relação a y é:
\int y^{2} \, dy = \frac{y^{3}}{3}
Portanto:
\frac{9}{2} \cdot \frac{y^{3}}{3} = \frac{9 y^{3}}{6} = \frac{3 y^{3}}{2}

Passo 6

Finalmente, vamos substituir os limites de y de 1 a 2:
\left. \frac{3 y^{3}}{2} \right|_{1}^{2} = \frac{3 (2)^{3}}{2} - \frac{3 (1)^{3}}{2} = \frac{3 \cdot 8}{2} - \frac{3 \cdot 1}{2} = \frac{24}{2} - \frac{3}{2} = 12 - 1,5 = 10,5

Resposta

O valor da integral dupla é 10,5.

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