LiSTA DE EXERCÍCIOS. INTEGRAIS DUPLAS.
((1)Em cada caso, calcule a integral dupla iterada dada:
(a) \int_{1}^{2} \int_{0}^{3} x y^{2} d x d y;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de integrais duplas que você mandou! O problema pede para calcular a integral dupla iterada:
\int_{1}^{2} \int_{0}^{3} x y^{2} \, dx \, dy
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas, volumes ou outras quantidades em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a que está em relação a x:
\int_{0}^{3} x y^{2} \, dx
Como y é tratado como uma constante nessa integração (porque estamos integrando em relação a x), podemos simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 3
Vamos integrar x y^{2} com respeito a x. A integral de x em relação a x é:
\int x \, dx = \frac{x^{2}}{2}
Então, a integral interna fica:
\int_{0}^{3} x y^{2} \, dx = y^{2} \left[ \frac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{3}
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor da integral interna substituindo os limites de x: