Lista de exercicios - Posição e deslocamento, velocidade média e instantânea
(4^{\circ}) ) Um pósitron sofre um deslocamento
\Delta \vec{r}=(-1,0) \hat{\imath}+(4,0) \hat{\jmath}+(3,0) \hat{k}
e termina com o vetor posição (em metros).
\vec{r}=(2,0) \hat{\imath}-(3,0) \hat{\jmath}+(1,0) \hat{k}
Qual era o vetor posição inicial do pósitron?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes vetores (todos em metros) e pede o vetor posição inicial do pósitron:
  • Vetor deslocamento: \Delta\vec{r}=(-1,0)\,\hat{\imath}+(4,0)\,\hat{\jmath}+(3,0)\,\hat{k}.
  • Vetor posição final: \vec{r}=(2,0)\,\hat{\imath}-(3,0)\,\hat{\jmath}+(1,0)\,\hat{k}.
    A pergunta é: qual era o vetor posição inicial \vec{r}_0?

Passo 2

Entender o conceito e a fórmula que liga esses vetores. A definição de deslocamento vetorial é:
\Delta\vec{r}=\vec{r}-\vec{r}_0,
onde:
  • \Delta\vec{r} é o deslocamento (vetor que aponta da posição inicial para a final),
  • \vec{r} é a posição final,
  • \vec{r}_0 é a posição inicial (o que queremos).
    Isolando \vec{r}_0 obtemos a fórmula que vamos usar:
\vec{r}_0=\vec{r}-\Delta\vec{r}.
Isto significa que subtraímos componente a componente o deslocamento da posição final para recuperar a posição inicial.

Passo 3

Fazer a subtração componente a componente (mostrando a conta explícita para não restar dúvida).
Componente \hat{\imath}:
r_{0x}=2,0-(-1,0)=2,0+1,0=3,0.
Componente \hat{\jmath}:
r_{0y}=-3,0-(4,0)=-3,0-4,0=-7,0.
Componente \hat{k}:
r_{0z}=1,0-(3,0)=1,0-3,0=-2,0.

Passo 4

Montar o vetor posição inicial com as componentes encontradas:
\vec{r}_0=(3,0)\,\hat{\imath}-(7,0)\,\hat{\jmath}-(2,0)\,\hat{k}.

Passo 5

Verificação rápida (checagem): somando \vec{r}_0 com \Delta\vec{r} deve voltar a \vec{r}:
(3,0)+(-1,0)=2,0,\qquad -7,0+4,0=-3,0,\qquad -2,0+3,0=1,0,
que coincide com \vec{r}. Portanto o resultado está coerente.

Resposta

\vec{r}_0=(3,0)\,\hat{\imath}-(7,0)\,\hat{\jmath}-(2,0)\,\hat{k}

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