2^ a Lista de Exercícios - Unidade I (Equações Exatas)
1 -Determine a solução das equações exatas:
c) 1+yx+ln x d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial exata
1 + yx + ln x ,dydx = 0
O conteúdo aqui é reconhecimento e resolução de equações exatas, seguindo o procedimento de identificar M(x,y) e N(x,y), verificar se partial M/partial y = partial N/partial x, achar a função potencial psi(x,y) e impor psi(x,y)=C.

Passo 2

Reescrevemos a equação em forma diferencial total:
l(1 + yxr),dx + l(ln xr),dy = 0
Daí definimos
M(x,y) = 1 + yx, N(x,y) = ln x

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais para checar a exatidão:
partial Mpartial y = 1x, partial Npartial x = 1x
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Procuramos psi(x,y) tal que psix = M. Integramos M em relação a x:
psi(x,y) = integrall(1 + yxr),dx = x + yln x + h(y),
onde h(y) é função só de y.

Passo 5

Impondo psiy = N, temos
partialpartial yl(x + yln x + h(y)r) = ln x + h'(y) stackrel!= ln x
Logo h'(y)=0, isto é, h(y) é constante.

Passo 6

A solução geral implícita é
psi(x,y) = x + yln x = C,
com C constante arbitrária. Opcionalmente, isolando y:
y = C - xln x

Resposta

x + yln x = C

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