2^ a Lista de Exercícios - Unidade I (Equações Exatas)
1 -Determine a solução das equações exatas:
b) 2 x y^3+(3 x^2 y^2-1y^2) d yd x=2x^3.

Passo 1

Resumo da questão: temos a equação diferencial
2x y^3 + l(3x^2y^2 - tfrac1y^2r)dydx = 2x^3
É uma equação exata se conseguirmos escrevê-la na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 e verificar partial M/partial y = partial N/partial x. Vamos precisar identificar M e N, testar exatidão e obter a função potencial psi(x,y).

Passo 2

Reescrever em forma diferencial: trazemos o termo da direita para o lado esquerdo e escrevemos
l(2x y^3 - 2x^3r)dx + l(3x^2y^2 - 1y^2r)dy = 0
Então
M(x,y) = 2x y^3 - 2x^3, N(x,y) = 3x^2y^2 - 1y^2

Passo 3

Testar exatidão: calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 6x y^2, partial Npartial x = 6x y^2
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 4

Encontrar a função potencial psi(x,y): integramos M em relação a x, tratando y como constante:
psi(x,y) = integral l(2x y^3 - 2x^3r)dx = x^2y^3 + x^-2 + h(y)

Passo 5

Determinar h(y): diferenciamos psi em relação a y e igualamos a N:
partial psipartial y = 3x^2y^2 + h'(y) stackrel!= 3x^2y^2 - 1y^2 implies h'(y) = -1y^2 implies h(y) = 1y

Passo 6

Escrever a solução geral: a constante de integração aparece em psi(x,y) = C, logo temos
x^2y^3 + 1x^2 + 1y = C

Resposta

x{2}y{3} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y} = C

Exercícios relacionados