2^ a Lista de Exercícios - Unidade I (Equações Exatas)
2 - Mostre que as equações dadas abaixo não são exatas, em seguida encontre um fator integrante e resolva a equação.
b) y^prime=e^2 x+y-1

Passo 1

A equação dada é y'=e^2x+y-1, que pertence ao conteúdo de equações exatas. Nosso plano é: escrever em forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0, testar exatidão, achar fator integrante mu(x), tornar a equação exata, e resolver.

Passo 2

Reescrevemos y'=dydx e levamos tudo para o lado esquerdo:
(-y-e^2x+1),dx + 1,dy = 0
Aqui M(x,y)=-y-e^2x+1 e N(x,y)=1. Calculamos
partial Mpartial y=-1, partial Npartial x=0,
como não são iguais, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante que dependa só de x. Usamos a fórmula
mu(x)=e^integralpartial M/partial y-partial N/partial xN,dx = e^integral(-1-0),dx = e^-x
Multiplicando a equação original por e^-x, obtemos
(-y e^-x-e^x+e^-x),dx + e^-x,dy = 0,
que é exata, pois
partialpartial y(-y e^-x-e^x+e^-x)=-e^-x, partialpartial x(e^-x)=-e^-x

Passo 4

Procuramos agora uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=-y e^-x-e^x+e^-x, partial psipartial y=e^-x
Integramos em relação a x:
psi(x,y)=integral(-y e^-x-e^x+e^-x),dx = y e^-x-e^x-e^-x+h(y)

Passo 5

Para ajustar h(y), derivamos psi em relação a y e igualamos a N1=e^-x:
partial psipartial y=e^-x+h'(y)=e^-x implies h'(y)=0 implies h(y)=C

Passo 6

A solução implícita é
psi(x,y)=y e^-x-e^x-e^-x=C
Multiplicando por e^x e isolando y, temos
y = C e^x + e^2x + 1

Resposta

y = C e^{x} + e^{2x} + 1

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