Lista de Exercícios - Unidade I (Equações Exatas)
2 - Mostre que as equações dadas abaixo não são exatas, em seguida encontre um fator integrante e resolva a equação.
b)
2 - Mostre que as equações dadas abaixo não são exatas, em seguida encontre um fator integrante e resolva a equação.
b)
Passo 1
A equação dada é
, que pertence ao conteúdo de equações exatas. Nosso plano é: escrever em forma
, testar exatidão, achar fator integrante
, tornar a equação exata, e resolver.
Passo 2
Reescrevemos
e levamos tudo para o lado esquerdo:
Aqui
como não são iguais, a equação não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante que dependa só de
. Usamos a fórmula
Multiplicando a equação original por
que é exata, pois
Passo 4
Procuramos agora uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
Passo 5
Para ajustar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Passo 6
A solução implícita é
Multiplicando por
Resposta
y = C e^{x} + e^{2x} + 1