Lista de Exercícios - Unidade I (Equações Exatas)
1 -Determine a solução das equações exatas:
a)
.
1 -Determine a solução das equações exatas:
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata juntos! O enunciado nos dá uma equação que envolve derivadas e funções de
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar uma função que satisfaça essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso como:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se:
Calculando as derivadas parciais:
Como são iguais, a equação é realmente exata!
Passo 4
Agora, nosso objetivo é encontrar uma função
tal que:
Isso significa que:
Vamos começar integrando
em relação a
:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e aparece porque a constante de integração pode depender de
.
Passo 5
Agora, para determinar
, usamos a segunda condição:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando a
:
Isolando
:
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação é: