2^ a Lista de Exercícios - Unidade I (Equações Exatas)
1 -Determine a solução das equações exatas:
a) 2 x y^2+cos x+(2 x^2 y+1y) d yd x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata juntos! O enunciado nos dá uma equação que envolve derivadas e funções de x e y . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar uma função que satisfaça essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. A equação dada é:
2xy^2 + cos x + (2x^2 y + 1y) dydx = 0
Podemos reorganizar isso como:
(2xy^2 + cos x) , dx + (2x^2 y + 1y) , dy = 0
Aqui, identificamos M(x, y) = 2xy^2 + cos x e N(x, y) = 2x^2 y + 1y .

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 4xy
partial Npartial x = 4xy
Como são iguais, a equação é realmente exata!

Passo 4

Agora, nosso objetivo é encontrar uma função F(x, y) tal que:
dF = M , dx + N , dy
Isso significa que:
partial Fpartial x = M
partial Fpartial y = N
Vamos começar integrando M em relação a x :
F(x, y) = integral M , dx = integral (2xy^2 + cos x) , dx
Integrando termo a termo:
F(x, y) = x^2y^2 + sin x + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende apenas de y e aparece porque a constante de integração pode depender de y .

Passo 5

Agora, para determinar h(y) , usamos a segunda condição:
partial Fpartial y = N
Calculando a derivada de F em relação a y :
partial Fpartial y = 2x^2y + h'(y)
Igualando a N :
2x^2y + h'(y) = 2x^2y + 1y
Isolando h'(y) :
h'(y) = 1y

Passo 6

Integrando h'(y) em relação a y :
h(y) = integral 1y , dy = ln |y| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos h(y) de volta na expressão de F(x, y) :
F(x, y) = x^2y^2 + sin x + ln y = C

Resposta

A solução geral da equação é:
x^2y^2 + sin x + ln y = C

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