lista de probabilidade
Primeira parte- Definição axiomática. Para todos os exercícios:
\Omega é espaço amostral, A é \sigma-álgebra de eventos e p probailidade
Prove que dados A e B \in A, então A-B \in A

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que, em um espaço de probabilidade dado, se dois eventos estão na σ-álgebra então a diferença entre eles também está na σ-álgebra.
Informações dadas (relevantes):
  • \Omega é o espaço amostral.
  • \mathcal{A} é uma σ-álgebra de eventos (usei o símbolo \mathcal{A} para não confundir com um evento chamado A).
  • p é a probabilidade (não precisamos do valor de p aqui, apenas da estrutura \mathcal{A}).
  • Dados dois eventos quaisquer A e B com A\in\mathcal{A} e B\in\mathcal{A}, provar que A-B\in\mathcal{A}. Aqui interpretamos A-B como a diferença de conjuntos A\setminus B=\{x\in A:\;x\notin B\}.

Passo 2

Lembrando (definição da σ-álgebra, as propriedades que vamos usar): por ser σ-álgebra, \mathcal{A} satisfaz pelo menos estas duas propriedades essenciais:
  1. Se E\in\mathcal{A} então o complemento E^{c}=\Omega\setminus E pertence a \mathcal{A}. (fechamento por complementação)
  2. Se (E_{n})_{n\ge1} é uma sequência de conjuntos em \mathcal{A} então \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \in \mathcal{A}. (fechamento por uniões contáveis)
Essas duas propriedades serão suficientes, porque podemos obter outras propriedades úteis (como fechamento por interseção finita) a partir delas usando as leis de De Morgan. Vou explicar isso com calma no próximo passo.

Passo 3

Explicar e provar que uma σ-álgebra é fechada por interseção finita (caso mais útil aqui: interseção de dois conjuntos).
Queremos mostrar: se E\in\mathcal{A} e F\in\mathcal{A} então E\cap F\in\mathcal{A}.
Argumento passo a passo:
  • Como E\in\mathcal{A}, pelo item 1 temos E^{c}\in\mathcal{A}.
  • Como F\in\mathcal{A}, pelo item 1 temos F^{c}\in\mathcal{A}.
  • Pela propriedade 2 (fechamento por uniões contáveis) vale também para uniões finitas; em particular E^{c}\cup F^{c}\in\mathcal{A}.
  • Aplicando novamente a propriedade 1 ao conjunto E^{c}\cup F^{c}, obtemos (E^{c}\cup F^{c})^{c}\in\mathcal{A}.
  • Mas pelas leis de De Morgan temos a identidade de conjuntos (E^{c}\cup F^{c})^{c}=E\cap F.Portanto E\cap F\in\mathcal{A}.
Se quiseres ver por que De Morgan vale: um elemento x pertence a (E^{c}\cup F^{c})^{c} exatamente quando não pertence a E^{c}\cup F^{c}, i.e., quando não está fora de E nem fora de F; isso significa que x está em E e em F ao mesmo tempo, ou seja, em E\cap F. É a mesma lógica, só escrita com conjuntos.

Passo 4

Expressar a diferença como interseção com complemento e aplicar as propriedades que já estabelecemos.
  • Observe a identidade de conjuntos (definição da diferença):
    A\setminus B = A\cap B^{c}.
    Essa igualdade é direta pela definição: x\in A\setminus B se e só se x\in A e x\notin B, isto é, x\in A e x\in B^{c}, portanto x\in A\cap B^{c}.
  • Agora use as propriedades da σ-álgebra:
    • Como B\in\mathcal{A}, então B^{c}\in\mathcal{A} (fechamento por complementação).
    • Como A\in\mathcal{A} e B^{c}\in\mathcal{A}, pela propriedade de fechamento por interseção que provamos no passo anterior, A\cap B^{c}\in\mathcal{A}.
  • Conclusão: A\setminus B = A\cap B^{c}\in\mathcal{A}. Logo A-B\in\mathcal{A}.

Passo 5

Um exemplo rápido para fixar a ideia (só pra você visualizar): seja \Omega=\{1,2,3\} e uma σ-álgebra \mathcal{A}=\{\varnothing,\Omega,\{1\},\{2,3\}\}. Tomando A=\{1\}\in\mathcal{A} e B=\{2,3\}\in\mathcal{A}, temos A\setminus B=\{1\}\cap\{2,3\}^{c}=\{1\}\cap\{1\}=\{1\}\in\mathcal{A}. Funciona direitinho e ilustra a técnica.

Resposta

A\setminus B \in \mathcal{A}

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