lista de probabilidade
Primeira parte- Definição axiomática. Para todos os exercícios:
é espaço amostral,
é
-álgebra de eventos e
probailidade
Prove que dados
e
, então
Primeira parte- Definição axiomática. Para todos os exercícios:
Prove que dados
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que, em um espaço de probabilidade dado, se dois eventos estão na σ-álgebra então a diferença entre eles também está na σ-álgebra.
Informações dadas (relevantes):
Informações dadas (relevantes):
-
é o espaço amostral. -
é uma σ-álgebra de eventos (usei o símbolo para não confundir com um evento chamado ). -
é a probabilidade (não precisamos do valor de aqui, apenas da estrutura ). - Dados dois eventos quaisquer
e com e , provar que . Aqui interpretamos como a diferença de conjuntos .
Passo 2
Lembrando (definição da σ-álgebra, as propriedades que vamos usar): por ser σ-álgebra,
satisfaz pelo menos estas duas propriedades essenciais:
- Se
então o complemento pertence a . (fechamento por complementação) - Se
é uma sequência de conjuntos em então . (fechamento por uniões contáveis)
Essas duas propriedades serão suficientes, porque podemos obter outras propriedades úteis (como fechamento por interseção finita) a partir delas usando as leis de De Morgan. Vou explicar isso com calma no próximo passo.
Passo 3
Explicar e provar que uma σ-álgebra é fechada por interseção finita (caso mais útil aqui: interseção de dois conjuntos).
Queremos mostrar: se
e
então
.
Argumento passo a passo:
- Como
, pelo item 1 temos . - Como
, pelo item 1 temos . - Pela propriedade 2 (fechamento por uniões contáveis) vale também para uniões finitas; em particular
. - Aplicando novamente a propriedade 1 ao conjunto
, obtemos . - Mas pelas leis de De Morgan temos a identidade de conjuntos
Portanto .
Se quiseres ver por que De Morgan vale: um elemento
pertence a
exatamente quando não pertence a
, i.e., quando não está fora de
nem fora de
; isso significa que
está em
e em
ao mesmo tempo, ou seja, em
. É a mesma lógica, só escrita com conjuntos.
Passo 4
Expressar a diferença como interseção com complemento e aplicar as propriedades que já estabelecemos.
-
Observe a identidade de conjuntos (definição da diferença):Essa igualdade é direta pela definição:
se e só se e , isto é, e , portanto . -
Agora use as propriedades da σ-álgebra:
- Como
, então (fechamento por complementação). - Como
e , pela propriedade de fechamento por interseção que provamos no passo anterior, .
- Como
-
Conclusão:
. Logo .
Passo 5
Um exemplo rápido para fixar a ideia (só pra você visualizar): seja
e uma σ-álgebra
. Tomando
e
, temos
. Funciona direitinho e ilustra a técnica.