Lista Treino para prova de Reavaliação AB1 - Gravitação e Fluidos - Física 2
Um planeta leva 300 dias (terrestres) para completar uma órbita circular em torno do seu sol, que tem uma massa de 6,0 times 10^30 kg. Quais são (b) a velocidade orbital do planeta?

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um planeta que leva 300 dias terrestres para dar uma volta completa ao seu sol, que tem uma massa de 6,0 times 10^30 kg. A pergunta é: qual é a velocidade orbital desse planeta? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de gravitação e movimento circular, especificamente a relação entre a massa do sol, o período orbital e a velocidade do planeta.

Passo 2

Para encontrar a velocidade orbital, precisamos primeiro descobrir a distância do planeta ao sol, ou seja, o raio da órbita circular. Podemos usar a Terceira Lei de Kepler modificada por Newton, que relaciona o período orbital ( T), o raio da órbita ( r) e a massa do sol ( M):
T^2 = 4pi^2 r^3G M
Aqui, G é a constante gravitacional, que vale aproximadamente 6,674 times 10^-11 , m^3 cdot kg^-1 cdot s^-2.

Passo 3

Primeiro, vamos converter o período orbital de dias para segundos, para que as unidades fiquem consistentes com a constante gravitacional.
Sabemos que:
1 , dia = 24 , horas = 24 times 3600 , segundos = 86.400 , segundos
Então, 300 dias são:
300 , dias = 300 times 86.400 , s = 25.920.000 , s
T = 25.920.000 , s

Passo 4

Agora, vamos rearranjar a equação da Terceira Lei de Kepler para resolver o raio da órbita ( r):
r^3 = G M T^24 pi^2
Substituindo os valores conhecidos:
  • G = 6,674 times 10^-11 , m^3 cdot kg^-1 cdot s^-2
  • M = 6,0 times 10^30 , kg
  • T = 25.920.000 , s

Passo 5

Vamos calcular o valor de r^3:
r^3 = 6,674 times 10^-11 times 6,0 times 10^30 times (25.920.000)^24 pi^2
Primeiro, calculamos o numerador:
6,674 times 10^-11 times 6,0 times 10^30 = 4,0044 times 10^20
Em seguida:
4,0044 times 10^20 times (25.920.000)^2 = 4,0044 times 10^20 times 6,722 times 10^15 = 2,695 times 10^36
Agora, dividimos pelo denominador:
4 pi^2 approx 39,478
r^3 = 2,695 times 10^3639,478 approx 6,831 times 10^34 , m^3

Passo 6

Agora, para encontrar o raio ( r), tiramos a raiz cúbica de 6,831 times 10^34 , m^3:
r = (6,831 times 10^34)^1/3 approx 4,07 times 10^11 , m

Passo 7

Com o raio da órbita conhecido, podemos calcular a velocidade orbital ( v) usando a fórmula da velocidade circular:
v = 2 pi rT
Substituindo os valores:
  • r = 4,07 times 10^11 , m
  • T = 25.920.000 , s

Passo 8

Realizando o cálculo:
v = 2 pi times 4,07 times 10^1125.920.000 approx 2,559 times 10^1225.920.000 approx 9,869 times 10^4 , m/s

Resposta

A velocidade orbital do planeta é aproximadamente 9,87 times 10^4 metros por segundo.

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