Em um livro antigo de mecânica dos fluidos encontrava-se a seguinte equação para calcular a energia perdida num redutor de diâmetro de uma tubulação:
h=(0.04 a 0.09)(D / d)^4 V^2 / 2 g
em que h é a energia perdida por unidade de peso, D é o diâmetro inicial da tubulação, d é o diâmetro na saída do redutor, V é a velocidade do fluido na entrada e g é a aceleração da gravidade. Você acha que essa equação é valida para qualquer sistema de unidades? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de mecânica dos fluidos. A gente tem uma equação que calcula a energia perdida quando a tubulação diminui de diâmetro. O que precisamos descobrir é se essa equação funciona em qualquer sistema de unidades. Para resolver isso, vamos entender os componentes da equação e analisar como as unidades se comportam nela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
h = (0.04 a 0.09)(Dd)^4 V^22g
Aqui:
  • $ h $ é a energia perdida por unidade de peso.
  • $ D $ é o diâmetro inicial da tubulação.
  • $ d $ é o diâmetro na saída do redutor.
  • $ V $ é a velocidade do fluido na entrada.
  • $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Vamos analisar as unidades de cada termo na equação. Para que uma equação seja válida em qualquer sistema de unidades, ela precisa ser dimensionalmente consistente, ou seja, os lados da equação devem ter as mesmas unidades.
Primeiro, observamos que $ h $ representa energia por unidade de peso. Em termos de unidades:
  • Energia ($ h $) tem unidades de $ m2/\text{s}2 $ no Sistema Internacional (SI).
Agora, vejamos o lado direito da equação:
  1. $ (0.04 a 0.09) $ são coeficientes adimensionais.
  2. $ \left(\frac{D}{d}\right)^{4} $ é adimensional, já que é uma razão de diâmetros.
  3. $ \frac{V^{2}}{2g} $:
    • $ V $ tem unidades de velocidade ($ m/s $ no SI).
    • $ g $ tem unidades de aceleração ($ m/s^2 $ no SI).
    • Assim, $ \frac{V^{2}}{g} $ tem unidades de $ m2/\text{s}2 $.

Passo 4

Multiplicando todos esses termos no lado direito, temos:
  • Coeficientes adimensionais × adimensional × $ m2/\text{s}2 $ = $ m2/\text{s}2 $
Isso corresponde exatamente às unidades de $ h $. Então, no SI, a equação faz sentido e é dimensionalmente consistente.

Passo 5

Agora, se tentarmos aplicar essa equação em outro sistema de unidades, como o sistema imperial, onde as unidades de diâmetro, velocidade e aceleração da gravidade são diferentes (polegadas, pés por segundo, pés por segundo ao quadrado, respectivamente), os coeficientes $ 0.04 $ a $ 0.09 $ provavelmente não serão mais válidos porque foram ajustados para o sistema SI.
Isso acontece porque os fatores empíricos (os números na frente) geralmente dependem do sistema de unidades utilizado. Se mudar o sistema, esses coeficientes precisam ser recalculados para manter a consistência dimensional e a precisão da equação.

Resposta

Não, essa equação não é válida para qualquer sistema de unidades. Ela foi formulada com coeficientes específicos que são adequados ao sistema de unidades usado originalmente (como o SI). Ao mudar o sistema de unidades, os coeficientes precisariam ser ajustados para manter a consistência e a precisão da equação.

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