Livro: Cálculo Vol. II, James Stewart, 9a. Edição: Seção 11.8 (Séries de Potência): 27
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=1^infty n^2 x^n2 cdot 4 cdot 6 cdot cdots cdot(2 n)

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^inftyn^2x^n2cdot4cdot6cdots(2n)
O conteúdo aqui é o teste da razão (ou d’Alembert) para séries de potências.

Passo 2

Observe que o produto dos pares de 1 a 2n é o duplo fatorial
2cdot4cdot6cdots(2n)=(2n)!!,
e vale a identidade
(2n)!!=2^n,n!
Logo o termo geral pode ser reescrito como
an=n^2x^n2^nn!=;n^2,(x/2)^nn!

Passo 3

Aplicamos o teste da razão comparando lvert an+1/anrvert. Temos
lvert an+1rvertlvert anrvert =(n+1)^2,llvert x/2rrvert^,n+1/(n+1)!n^2,llvert x/2rrvert^,n/n! =(n+1)^2n^2;1n+1;llverttfracx2rrvert =n+1n^2;llverttfracx2rrvert

Passo 4

Agora fazemos o limite quando ntoinfty:
L=limntoinftylvert an+1rvertlvert anrvert =limntoinftyn+1n^2;llverttfracx2rrvert =llverttfracx2rrvert;limntoinftyn+1n^2 =0
Como L=0<1 para todo x, a série converge para qualquer x.

Resposta

Raio de convergência: R=infty.
Intervalo de convergência: (-infty,infty).

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