Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty 3raizn-1

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty 3raizn-1
Este é um problema de séries de termos positivos. Vamos usar um teste de comparação com uma p-série conhecida para decidir.

Passo 2

Observamos o comportamento para n grande. Como
raizn-1simraizn,
temos
3raizn-1sim 3raizn=3,n^-tfrac12
A p-série sum n^-tfrac12 diverge, pois o expoente p=tfrac12<=1.

Passo 3

Para tornar isso rigoroso, note que para n>=2 vale raizn-1<=raizn. Então
3raizn-1>= 3raizn
Como sumn=2^infty3raizn=3sumn=2^inftyn^-tfrac12 diverge, a nossa série original também diverge por comparação direta.

Resposta

A série diverge.

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