Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty 52 n^2+4 n+3

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty52n^2+4n+3
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, em particular podemos usar o teste de comparação de limites com uma p-série.

Passo 2

Para grandes n temos
52n^2+4n+3sim52n^2,
então escolhemos a série de comparação
bn=1n^2,
que é uma p-série com p=2>1 e, portanto, converge.

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação de limites entre
an=52n^2+4n+3 e bn=1n^2
e calculamos
limntoinftyanbn =limntoinfty52n^2+4n+31n^2 =limntoinfty5n^22n^2+4n+3 =52,
que é finito e estritamente positivo.

Passo 4

Como sum bn converge e
limntoinfty(an/bn)in(0,infty), pelo teste de comparação de limites segue que sum an também converge.

Resposta

A série converge.

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