Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=2^infty 1n(ln n)^2

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=2^infty 1n(ln n)^2
O conteúdo envolve séries de termos positivos e vamos usar o teste da integral para decidir convergência.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = 1x(ln x)^2,
válida para x>=2. Observamos que f(x)>0 e é contínua em [2,infty).
Para aplicar o teste da integral, precisamos também que f seja decrescente. Calculamos
f'(x) = ddxl[x^-1(ln x)^-2r] = -ln x + 2x^2(ln x)^3
Como ln x>0 para x>=2, segue f'(x)<0, ou seja, f é decrescente em [2,infty).

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, avaliando
integral2^infty dxx(ln x)^2
Fazendo a troca de variável u = ln x, de modo que du = dx/x, os limites transformam-se em u=ln2 até utoinfty. Assim,
integral2^infty dxx(ln x)^2 = integralln2^infty duu^2 = l[-tfrac1ur]ln2^infty = 0 - l(-tfrac1ln2r) = 1ln2,
que é finito.

Passo 4

Como a integral converge, o teste da integral garante que a série
sumn=2^infty tfrac1n(ln n)^2
converge.

Resposta

A série converge.

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