Livro: Cálculo Vol. II, James Stewart, 9a. Edição: Seção 11.10 (Séries de Taylor e Maclaurin):
Use séries de potências para resolver a equação diferencial.
Use séries de potências para resolver a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
, usando séries de potências. Para isso, vamos supor que a solução possa ser escrita como uma série em torno de
e determinar uma relação de recorrência para os coeficientes.
Passo 2
Assumimos a solução na forma de série de potências
Passo 3
Derivando termo a termo, obtemos
Passo 4
Substituindo em
e reindexando para expressar tudo em potências de
, vem
Passo 5
Como o segundo somatório não tem termo em
, unimos os dois últimos em
Igualando coeficiente a coeficiente, obtemos a relação de recorrência
Passo 6
Das condições iniciais temos
e
.
e
Passo 7
Pela recorrência vem
,
,
, ···
E como , todos os
.
E como
Passo 8
Para os coeficientes pares (
) tem-se
Passo 9
Logo a série solução é