Livro: Cálculo Vol. II, James Stewart, 9a. Edição: Seção 11.10 (Séries de Taylor e Maclaurin): 43
Use séries de potências para resolver a equação diferencial.
y^prime prime-x y^prime-y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - x,y' - y = 0
com as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0, usando séries de potências. Para isso, vamos supor que a solução possa ser escrita como uma série em torno de x=0 e determinar uma relação de recorrência para os coeficientes.

Passo 2

Assumimos a solução na forma de série de potências
y(x)=sumn=0^infty an,x^n

Passo 3

Derivando termo a termo, obtemos
y'(x)=sumn=1^infty n,an,x^n-1, y''(x)=sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-2

Passo 4

Substituindo em y''-x,y'-y=0 e reindexando para expressar tudo em potências de x^n, vem
sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n - sumn=1^infty n,an,x^n - sumn=0^infty an,x^n =0

Passo 5

Como o segundo somatório não tem termo em n=0, unimos os dois últimos em
sumn=0^inftyl((n+2)(n+1)an+2-(n+1)anr)x^n=0
Igualando coeficiente a coeficiente, obtemos a relação de recorrência
(n+2)(n+1),an+2=(n+1),an Longrightarrow an+2=ann+2

Passo 6

Das condições iniciais temos
y(0)=a0=1
e
y'(0)=a1=0.

Passo 7

Pela recorrência vem
a2=tfraca02=tfrac12,
a3=tfraca13=0,
a4=tfraca24=tfrac12cdot4, ···
E como a1=0, todos os a2k+1=0.

Passo 8

Para os coeficientes pares ( k>=0) tem-se
a2k =a2(k-1)2k =cdots =a02cdot4cdots2k =12^k,k!

Passo 9

Logo a série solução é
y(x) =sumk=0^infty a2k,x^2k =sumk=0^inftyx^2k2^k,k! =sumk=0^infty(x^2/2)^kk! =e^x^2/2

Resposta

y(x)=e^x^2/2

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