Livro: Cálculo Vol. II, James Stewart, 9a. Edição: Seção 11.8 (Séries de Potência): 26
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=1^infty (x+2)^nn(n+1)

Passo 1

Estamos lidando com a série de potências sumn=1^infty(x+2)^nn(n+1), centrada em x0=-2. O objetivo é encontrar o raio de convergência R usando o teste da razão e depois determinar o intervalo de convergência testando os extremos.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão: considere an=(x+2)^nn(n+1). Calculamos
L=limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|(x+2)^n+1(n+1)(n+2)cdotn(n+1)(x+2)^n| =|x+2|limntoinftynn+2=|x+2|
A série converge se L<1, isto é, |x+2|<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

No ponto x=-1 temos x+2=1 e a série vira
sumn=1^infty1n(n+1)
Usando a decomposição telescópica 1n(n+1)=1n-1n+1, o somatório parcial até N é
sumn=1^Nl(1n-1n+1r)=1-1N+1to1 (Ntoinfty))
Portanto converge (e até converge absolutamente).

Passo 4

No ponto x=-3 temos x+2=-1 e a série fica
sumn=1^infty(-1)^nn(n+1)
Como bn=1n(n+1) é decrescente e tende a zero, o teste da série alternada garante convergência. Além disso, a soma dos bn também converge ao valor 1, então há convergência absoluta neste ponto.

Resposta

Raio de convergência: R=1. Intervalo de convergência: [–3, –1].

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