(Livro: Chapra, 2011 - Capítulo 3 - Questão 3.10) Use a aritmética com 5 algarismos significativos e truncamento para calcular as raizes da seguinte equação: x^2 - 5000,002x + 10. Calcule os erros Relativos percentuais para o seu resultado.

Passo 1

Então, o enunciado pede que resolvamos a equação
x^2 - 5000,002,x + 10 = 0
usando aritmética de 5 algarismos significativos com truncamento, e depois calculemos os erros relativos percentuais das raízes obtidas.
Conteúdo envolvido:
  • Fórmula de Bhaskara (equação quadrática)
  • Truncamento a 5 algarismos significativos
  • Cálculo de erro relativo percentual

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes e já os representamos com 5 algarismos significativos (truncando):
a = 1 , b = -5000,002 approx -5,0000times 10^3 , c = 10 approx 1,0000times 10^1

Passo 3

Agora, calculamos em 5 dígitos os termos da fórmula de Bhaskara:
  1. b^2 = (5,0000times 10^3)^2 = 2,5000times 10^7 :
4,a,c = 4 times 1 times (1,0000times10^1) = 4,0000times10^1
  1. :

Passo 4

O discriminante D = 2,5000times10^7 ;-; 4,0000times10^1 = 2,4999960times10^7 ;oversettrunclongrightarrow; 2,4999times10^7 em 5 dígitos (truncando):

Passo 5

Precisamos de raizD approx 4,9999times10^3 . Com ,
(usar expansão de binômio ou método de Newton e truncar a 5 dígitos.)

Passo 6

Aplicando Bhaskara
x = -b pm raizD2a = 5,0000times10^3 pm 4,9999times10^32
  1. Raiz maior:
x1 = 5,0000times10^3 + 4,9999times10^32 = 9,9999times10^32 = 4,9999times10^3 ;widehat=;4999,9
  1. Raiz menor:
x2 = 5,0000times10^3 - 4,9999times10^32 = 0,0001times10^32 = 0,00005times10^3 = 5,0000times10^-2 ;widehat=;0,05

Passo 7

Cálculo dos erros relativos percentuais, sabendo que as raízes “verdadeiras” são
ER% = l|tfrac4999,9 - 50005000r|times100% = tfrac0,15000times100% = 0,002% .
  1. Para ER% = l|tfrac0,05 - 0,0020,002r|times100% = tfrac0,0480,002times100% = 2400% :
  1. Para :

Resposta

Raízes aproximadas (5 dígitos, truncamento):
x1 approx 4999,9, x2 approx 0,05
Erros relativos percentuais:
ER%(x1)=0,002%, ER%(x2)=2400%

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