(Livro: Ruggiero, 1998 - Capítulo 1 - Questão 3) Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos, base decimal e com acumulador de precisão dupla. Dado os números:
*
*
*
efetue as seguintes operações e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que
e z estão exatamente representados
efetue as seguintes operações e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que
Passo 1
Beleza, aqui o que rolou: a gente tem um sistema de ponto flutuante decimal com 4 dígitos na mantissa (base 10) e “acumulador de precisão dupla” – ou seja, quando a gente faz uma operação, o hardware usa até 8 dígitos internamente e só depois arredonda pra 4 dígitos.
Conteúdo: aritmética de ponto flutuante, arredondamento e cálculo de erro relativo.
O que vamos precisar:
Conteúdo: aritmética de ponto flutuante, arredondamento e cálculo de erro relativo.
O que vamos precisar:
- Normalizar e alinhar os números antes de operar.
- Fazer cada subtração usando 8 dígitos internamente e depois arredondar a 4 dígitos.
- Calcular o valor exato final e o erro relativo.
Passo 2
Vamos anotar os valores em decimal “de boa” pra entender:
Primeiro computamos
.
1) Escrevendo em forma normalizada para subtração:
1) Escrevendo em forma normalizada para subtração:
- Subtração exata (com 8 dígitos internos):
3) Agora arredondamos pra 4 dígitos na mantissa:
- Mantissa interna = 0.7233 7855…, os quatro primeiros dígitos são 7 2 3 3, o quinto é 7 (≥5), então subimos o “3” final pra “4”.
- Resultado arredondado:
Passo 3
Agora fazemos
:
1) Normaliza pra mesmo expoente (já tá quase):
1) Normaliza pra mesmo expoente (já tá quase):
- Subtração exata (8 dígitos):
Em forma científica:
3) Arredondando a 4 dígitos:
- Mantissa interna = 0.7231 4140…, o quinto dígito é 4 (<5), então não muda.
- Resultado final computado:
Passo 4
Agora vamos ao valor exato de
sem arredondar nada até o fim:
Passo 5
Erro relativo =
.
Substituindo:
Substituindo:
$$\delta = \frac{|7231.4137855 - 7231|}{7231.4137855}
= \frac{0.4137855}{7231.4137855}\approx 5.72\times10^{-5}$$
Resposta
O resultado da operação em ponto flutuante é
, e o erro relativo aproximado é