(Livro: Ruggiero, 1998 - Capítulo 1 - Questão 3) Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos, base decimal e com acumulador de precisão dupla. Dado os números:
x=0.7234 * 10^wed>= 4
y=0.2145 * 10^wed>=-3
z=0.2586 * 10^wed>= 1
efetue as seguintes operações e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que x, y e z estão exatamente representados
x-y-z

Passo 1

Beleza, aqui o que rolou: a gente tem um sistema de ponto flutuante decimal com 4 dígitos na mantissa (base 10) e “acumulador de precisão dupla” – ou seja, quando a gente faz uma operação, o hardware usa até 8 dígitos internamente e só depois arredonda pra 4 dígitos.
Conteúdo: aritmética de ponto flutuante, arredondamento e cálculo de erro relativo.
O que vamos precisar:
  • Normalizar e alinhar os números antes de operar.
  • Fazer cada subtração usando 8 dígitos internamente e depois arredondar a 4 dígitos.
  • Calcular o valor exato final e o erro relativo.

Passo 2

Vamos anotar os valores em decimal “de boa” pra entender:
x = 0.7234times10^4 = 7234
y = 0.2145times10^-3 = 0.0002145
z = 0.2586times10^1 = 2.586
Primeiro computamos x - y.
1) Escrevendo em forma normalizada para subtração:
x = 0.72340000times10^4, y = 0.00002145times10^4
  1. Subtração exata (com 8 dígitos internos): 0.72340000 - 0.00002145 = 0.72337855(times10^4)
    3) Agora arredondamos pra 4 dígitos na mantissa:
    - Mantissa interna = 0.7233 7855…, os quatro primeiros dígitos são 7 2 3 3, o quinto é 7 (≥5), então subimos o “3” final pra “4”.
    - Resultado arredondado:
    r1 = 0.7234times10^4 = 7234

Passo 3

Agora fazemos r1 - z:
1) Normaliza pra mesmo expoente (já tá quase):
r1 = 7234.0000, z = 2.5860000
  1. Subtração exata (8 dígitos): 7234.0000 - 2.5860000 = 7231.4140000Em forma científica: 0.72314140times10^4
    3) Arredondando a 4 dígitos:
    - Mantissa interna = 0.7231 4140…, o quinto dígito é 4 (<5), então não muda.
    - Resultado final computado:
    r = 0.7231times10^4 = 7231

Passo 4

Agora vamos ao valor exato de x - y - z sem arredondar nada até o fim:
7234 - 0.0002145 - 2.586 = 7231.4137855

Passo 5

Erro relativo = de.
Substituindo:
$$\delta = \frac{|7231.4137855 - 7231|}{7231.4137855}
= \frac{0.4137855}{7231.4137855}\approx 5.72\times10^{-5}$$

Resposta

O resultado da operação em ponto flutuante é 7231, e o erro relativo aproximado é 5,72times10^-5,

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