Maria e Carolina decidem ir a um clube para praticar tiro ao alvo. Suponha que, a cada disparo, Maria acerta o centro do alvo com probabilidade p1, enquanto que Carolina o acerta com probabilidade p2. Suponha que as duas disparam simultaneamente e que o centro do alvo foi atingido. Qual a probabilidade de que
a) ambas tenham acertado o centro do alvo?
b) Maria tenha sido a única a acertar o alvo?
c) Qual é a suposição de independência feita?

Passo 1

O enunciado diz que Maria acerta o centro com probabilidade p1 e Carolina com probabilidade p2, elas disparam ao mesmo tempo e sabemos que o centro foi atingido (ou seja, pelo menos uma acertou). A matéria envolvida é probabilidade condicional em eventos independentes e vamos precisar da fórmula P(Amid B)=P(Acap B)P(B)

Passo 2

Primeiro precisamos da probabilidade de que o centro seja atingido por pelo menos uma: como os acertos são independentes,
P(Mcup C)=P(M)+P(C)-P(M)P(C)=p1+p2-p1p2,

Passo 3

agora aplicamos a definição de probabilidade condicional para cada caso: a) para ambas terem acertado, o evento é Mcap C, então
P(Mcap Cmid Mcup C)=P(Mcap C)P(Mcup C)=p1p2p1+p2-p1p2

Passo 4

b) para Maria ter sido a única a acertar, o evento é Mcap C^c, logo
P(Mcap C^cmid Mcup C)=P(M),P(C^c)P(Mcup C)=p1(1-p2)p1+p2-p1p2

Passo 5

A suposição de independência usada foi que o resultado do disparo de Maria não afeta o de Carolina, ou seja,
P(Mcap C)=P(M)P(C)

Resposta

a) p1p2p1+p2-p1p2
b) p1(1-p2)p1+p2-p1p2
c) São independentes os eventos de acerto de Maria e de Carolina, isto é, P(Mcap C)=P(M)P(C).

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