Um professor possui um chaveiro com 15 chaves. Se consideramos que ele escolhe as chaves de modo aleatório.
a) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de 7 tentativas, se considerarmos que ele descarta as chaves já tentadas?
b) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de 7 tentativas, se considerarmos que ele não descarta as chaves já tentadas?
c) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de
tentativas, se considerarmos que ele descarta as chaves já tentadas?
d) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de
tentativas, se considerarmos que ele não descarta as chaves já tentadas?
e) Qual a probabilidade dele abrir a porta na
tentativas, se considerarmos que ele descarta as chaves já tentadas?
f) Qual a probabilidade dele abrir a porta na
tentativas, se considerarmos que ele não descarta as chaves já tentadas?
a) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de 7 tentativas, se considerarmos que ele descarta as chaves já tentadas?
b) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de 7 tentativas, se considerarmos que ele não descarta as chaves já tentadas?
c) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de
d) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de
e) Qual a probabilidade dele abrir a porta na
f) Qual a probabilidade dele abrir a porta na
Passo 1
O enunciado trata de um professor que tem 15 chaves e tenta abri-la de forma aleatória, em dois cenários: descartando chaves já testadas (sem reposição) e não descartando (com reposição). Vamos usar dois modelos probabilísticos: distribuição uniforme discreta para o caso sem reposição (equivalente a sorteio de posição na permutação) e distribuição geométrica para o caso com reposição.
Passo 2
No caso sem reposição, todas as 15 posições da chave correta numa ordem aleatória são igualmente prováveis. Para abrir antes da 7ª tentativa significa que a posição da chave correta está em 1,2,…,6. Então a probabilidade é a razão entre o número de posições favoráveis e o total de posições.
No caso com reposição, cada tentativa independente tem probabilidade de sucesso
. A probabilidade de ter sucesso em até 6 tentativas é
Passo 3
Para o caso geral sem reposição e antes de
tentativas (ou seja, em uma das posições 1 até
), basta usar o mesmo raciocínio de posição uniforme:
Passo 4
Para o caso geral com reposição e antes de
tentativas (sucesso até a tentativa
), aplicamos a função de distribuição acumulada da geométrica:
Passo 5
Para abrir exatamente na 7ª tentativa sem reposição, a posição da chave correta deve ser 7, que tem probabilidade uniforme
Passo 6
Para abrir exatamente na 7ª tentativa com reposição usamos a massa da geométrica: sucesso na 7ª significa fracassar 6 vezes e depois ter sucesso, ou seja,
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)