Um professor possui um chaveiro com 15 chaves. Se consideramos que ele escolhe as chaves de modo aleatório.
a) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de 7 tentativas, se considerarmos que ele descarta as chaves já tentadas?
b) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de 7 tentativas, se considerarmos que ele não descarta as chaves já tentadas?
c) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de k tentativas, se considerarmos que ele descarta as chaves já tentadas?
d) Qual a probabilidade dele abrir a porta antes de k tentativas, se considerarmos que ele não descarta as chaves já tentadas?
e) Qual a probabilidade dele abrir a porta na 7^a tentativas, se considerarmos que ele descarta as chaves já tentadas?
f) Qual a probabilidade dele abrir a porta na 7^a tentativas, se considerarmos que ele não descarta as chaves já tentadas?

Passo 1

O enunciado trata de um professor que tem 15 chaves e tenta abri-la de forma aleatória, em dois cenários: descartando chaves já testadas (sem reposição) e não descartando (com reposição). Vamos usar dois modelos probabilísticos: distribuição uniforme discreta para o caso sem reposição (equivalente a sorteio de posição na permutação) e distribuição geométrica para o caso com reposição.

Passo 2

No caso sem reposição, todas as 15 posições da chave correta numa ordem aleatória são igualmente prováveis. Para abrir antes da 7ª tentativa significa que a posição da chave correta está em 1,2,…,6. Então a probabilidade é a razão entre o número de posições favoráveis e o total de posições.
No caso com reposição, cada tentativa independente tem probabilidade de sucesso p=1/15. A probabilidade de ter sucesso em até 6 tentativas é 1 - (1-p)^6 = 1 - l(tfrac1415r)^6

Passo 3

Para o caso geral sem reposição e antes de k tentativas (ou seja, em uma das posições 1 até k-1), basta usar o mesmo raciocínio de posição uniforme: P = k-115

Passo 4

Para o caso geral com reposição e antes de k tentativas (sucesso até a tentativa k-1), aplicamos a função de distribuição acumulada da geométrica: P = 1 - l(1-pr)^k-1 = 1 - l(tfrac1415r)^k-1

Passo 5

Para abrir exatamente na 7ª tentativa sem reposição, a posição da chave correta deve ser 7, que tem probabilidade uniforme 115

Passo 6

Para abrir exatamente na 7ª tentativa com reposição usamos a massa da geométrica: sucesso na 7ª significa fracassar 6 vezes e depois ter sucesso, ou seja, l(1-pr)^6 p = l(tfrac1415r)^6 cdot tfrac115

Resposta

a) 615 = 25 b) 1 - l(tfrac1415r)^6 c) k-115 d) 1 - l(tfrac1415r)^k-1 e) 115 f) l(tfrac1415r)^6 cdot tfrac115

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