(Livro: Sears) Variação do volume causada por uma variação de temperatura. Um frasco de vidro com volume igual a 200 \mathrm{~cm}^{3} a 20^{\circ} \mathrm{C} está cheio de mercúrio até a borda. Qual é a quantidade de mercúrio que transborda quando a temperatura do sistema se eleva até 100^{\circ} \mathrm{C} ? O coeficiente de dilatação linear do vidro é igual a 0,40 \times 10^{-5} \mathrm{~K}^{-1}. O coeficiente de dilatação volumétrica do mercúrio é 18 \times 10^{-5} \mathrm{~K}^{-1}.

Passo 1

O enunciado diz que temos um frasco de vidro inicialmente com volume V_{0}=200\:\mathrm{cm^{3}} a 20^\circ\mathrm{C}, completamente cheio de mercúrio. Ao elevar a temperatura para 100^\circ\mathrm{C} (variação \Delta T), tanto o vidro quanto o mercúrio se dilatam. Precisamos calcular quanto de mercúrio sai do frasco, ou seja, a diferença entre a dilatação volumétrica do mercúrio e a do vidro. Para isso usaremos a teoria da dilatação volumétrica:
\Delta V = V_{0}\,\beta\,\Delta T
sendo \beta o coeficiente de dilatação volumétrica.

Passo 2

Encontrar a variação de temperatura e o coeficiente volumétrico do vidro.
A variação de temperatura é
\Delta T = 100 - 20 = 80\:\mathrm{K}.
Como o enunciado dá o coeficiente de dilatação linear do vidro \alpha_{g}=0,40\times10^{-5}\:\mathrm{K^{-1}}, o coeficiente volumétrico aproximado é
\beta_{g} \approx 3\,\alpha_{g} =3\times0,40\times10^{-5}\:\mathrm{K^{-1}} =1,2\times10^{-5}\:\mathrm{K^{-1}}.

Passo 3

Calcular a dilatação volumétrica do mercúrio e do vidro:
– Mercúrio: coeficiente volumétrico \beta_{\mathrm{Hg}}=18\times10^{-5}\:\mathrm{K^{-1}}, então
\Delta V_{\mathrm{Hg}} =V_{0}\,\beta_{\mathrm{Hg}}\,\Delta T =200\:\mathrm{cm^{3}}\times18\times10^{-5}\:\mathrm{K^{-1}}\times80\:\mathrm{K} =2{,}88\:\mathrm{cm^{3}}.
– Vidro:
\Delta V_{g} =V_{0}\,\beta_{g}\,\Delta T =200\:\mathrm{cm^{3}}\times1{,}2\times10^{-5}\:\mathrm{K^{-1}}\times80\:\mathrm{K} =0{,}192\:\mathrm{cm^{3}}.

Passo 4

A quantidade de mercúrio que transborda é a diferença entre o aumento do volume do mercúrio e o aumento do volume interno do frasco de vidro:
\Delta V_{\text{transborda}} =\Delta V_{\mathrm{Hg}}-\Delta V_{g} =2{,}88\:\mathrm{cm^{3}}-0{,}192\:\mathrm{cm^{3}} =2{,}688\:\mathrm{cm^{3}}.

Resposta

A quantidade de mercúrio que transborda é aproximadamente 2{,}69\:\mathrm{cm^{3}}.

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