Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para cada [\lambda), resolvemos , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo :
A segunda equação é apenas o dobro da primeira, então temos uma única equação:
Podemos escolher (v_2 = 1], então:
Autovetor para [\lambda_1 = 2):
Para :
Resolvendo :
A segunda equação nos dá:
Podemos escolher (v_1 = 1], então:
Autovetor para :
Passo 6
Agora que temos os autovalores e seus respectivos autovetores, podemos organizar os autovetores em uma matriz P e os autovalores em uma matriz diagonal D .
P = 4 & 1 1 & 2 , D = 2 & 0 0 & -5
Passo 7
Para verificar que D = P^-1 A P , precisamos garantir que P seja invertível. Calculamos o determinante de P :
det(P) = (4)(2) - (1)(1) = 8 - 1 = 7 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, P é invertível.
Portanto, temos:
D = P^-1 A P = 2 & 0 0 & -5
Resposta
a) Os autovalores de A são lambda1 = 2 e lambda2 = -5 .
Os autovetores correspondentes são:
v^(1) = 4 1 associado a lambda1 = 2,
v^(2) = 1 2 associado a lambda2 = -5
b) As matrizes P e D que satisfazem D = P^-1 A P são: