Seja A=[ll3 & -4 2 & -6].
a) Encontre todos os autovalores e autovetores associados.
b) Encontre as matrizes P e D tais que D=P^-1 A P.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a matriz A = 3 & -4 2 & -6 .
Parte a) Queremos encontrar todos os autovalores e autovetores associados a A .
Parte b) Precisamos encontrar as matrizes P e D que satisfazem D = P^-1 A P .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Parte a) Começaremos encontrando os autovalores da matriz A .
Os autovalores lambda de uma matriz são encontrados resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A , e det representa o determinante.

Passo 3

Vamos calcular A - lambda I :
A - lambda I = 3 - lambda & -4 2 & -6 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(-6 - lambda) - (-4)(2)

Passo 4

Simplificando o determinante:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(-6 - lambda) + 8
= (-6)(3) + (-6)(-lambda) + (-lambda)(3) + (-lambda)(-lambda) + 8
= -18 + 6lambda - 3lambda + lambda^2 + 8
= lambda^2 + 3lambda - 10
Agora, resolvemos a equação característica:
lambda^2 + 3lambda - 10 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = -3 pm raiz3^2 - 4 cdot 1 cdot (-10)2 cdot 1
= -3 pm raiz9 + 402
= -3 pm raiz492
= -3 pm 72
Então, os autovalores são:
lambda1 = 42 = 2 e lambda2 = -102 = -5

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para cada [\lambda), resolvemos , onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo :
A segunda equação é apenas o dobro da primeira, então temos uma única equação:
Podemos escolher (v_2 = 1], então:
Autovetor para [\lambda_1 = 2):
Para :
Resolvendo :
A segunda equação nos dá:
Podemos escolher (v_1 = 1], então:
Autovetor para :

Passo 6

Agora que temos os autovalores e seus respectivos autovetores, podemos organizar os autovetores em uma matriz P e os autovalores em uma matriz diagonal D .
P = 4 & 1 1 & 2 , D = 2 & 0 0 & -5

Passo 7

Para verificar que D = P^-1 A P , precisamos garantir que P seja invertível. Calculamos o determinante de P :
det(P) = (4)(2) - (1)(1) = 8 - 1 = 7 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, P é invertível.
Portanto, temos:
D = P^-1 A P = 2 & 0 0 & -5

Resposta

a) Os autovalores de A são lambda1 = 2 e lambda2 = -5 .
Os autovetores correspondentes são:
v^(1) = 4 1 associado a lambda1 = 2,
v^(2) = 1 2 associado a lambda2 = -5
b) As matrizes P e D que satisfazem D = P^-1 A P são:
P = 4 & 1 1 & 2 , D = 2 & 0 0 & -5

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