Questão 9: Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmaçães abaixo. Se for verdadeira, justifique porque, se for falsa, dê um exemplo em que a afirmação não é válida.
a) Se
e
são duas matrizes tais que
, então
ou
.
b) Se
então
.
c) Se
é uma matriz tal que
, então
.
a) Se
b) Se
c) Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar se, em geral, valem três propriedades envolvendo o produto de matrizes e a matriz nula
. O conteúdo principal aqui é que o conjunto das matrizes forma um anel não necessariamente comutativo e que nele podem existir “divisores de zero” e “elementos nilpotentes”. Para cada afirmação, vamos checar se é verdadeira — e provar por que — ou falsa — e dar um contra-exemplo simples em dimensão
ou
.
Passo 2
a) Afirmação: “Se
, então
ou
.”
Isto corresponderia a dizer que não existem divisores de zero em matrizes. Mas em geral existem. Um contra-exemplo em é dado por projeções ortogonais em subespaços distintos:
Isto corresponderia a dizer que não existem divisores de zero em matrizes. Mas em geral existem. Um contra-exemplo em
Nenhuma delas é a matriz nula, porém
Logo, a) é falsa.]
Passo 3
b) Afirmação: “Se
então
.”
Em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa, e podemos ter mas
. Um exemplo em
usa matrizes elementares
(que têm
na posição
e zero nas outras):
Em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa, e podemos ter
Recorde que
, onde
é o delta de Kronecker. Então
mas
Logo, b) é falsa.
Passo 4
c) Afirmação: “Se
, então
.”
Isto diria que não existem elementos nilpotentes além da zero, mas há muitos. Exemplo em :
Isto diria que não existem elementos nilpotentes além da zero, mas há muitos. Exemplo em
Calculamos
porém
. Assim, c) é falsa.]
Resposta
a) Falsa. Ex.:
b) Falsa. Ex.:
c) Falsa. Ex.: