Questão 9: Verifique se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmaçães abaixo. Se for verdadeira, justifique porque, se for falsa, dê um exemplo em que a afirmação não é válida.
a) Se A e B são duas matrizes tais que A B=0, então A=0 ou B=0.
b) Se A B=0 então B A=0.
c) Se A é uma matriz tal que A^2=0, então A=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, em geral, valem três propriedades envolvendo o produto de matrizes e a matriz nula 0. O conteúdo principal aqui é que o conjunto das matrizes forma um anel não necessariamente comutativo e que nele podem existir “divisores de zero” e “elementos nilpotentes”. Para cada afirmação, vamos checar se é verdadeira — e provar por que — ou falsa — e dar um contra-exemplo simples em dimensão 2 ou 3.

Passo 2

a) Afirmação: “Se A,B=0, então A=0 ou B=0.”
Isto corresponderia a dizer que não existem divisores de zero em matrizes. Mas em geral existem. Um contra-exemplo em R^2times2 é dado por projeções ortogonais em subespaços distintos:
A = 1 & 0[6pt]0 & 0, B = 0 & 0[6pt]0 & 1
Nenhuma delas é a matriz nula, porém
A,B = 1&0[3pt]0&0, 0&0[3pt]0&1 = 0&0[3pt]0&0 =0
Logo, a) é falsa.]

Passo 3

b) Afirmação: “Se A,B=0 então B,A=0.”
Em geral a multiplicação de matrizes não é comutativa, e podemos ter A,B=0 mas B,Aneq0. Um exemplo em R^3times3 usa matrizes elementares Eij (que têm 1 na posição (i,j) e zero nas outras):
A = E12, B = E31
Recorde que EijEkell = de<ajk,Eiell, onde de<ajk é o delta de Kronecker. Então
A,B = E12,E31 = de<a2,3,E11 = 0,
mas
B,A = E31,E12 = de<a1,1,E32 = E32neq 0
Logo, b) é falsa.

Passo 4

c) Afirmação: “Se A^2=0, então A=0.”
Isto diria que não existem elementos nilpotentes além da zero, mas há muitos. Exemplo em R^2times2:
A=0 & 1[4pt]0 & 0
Calculamos
A^2 =0&1[3pt]0&0 0&1[3pt]0&0 =0&0[3pt]0&0 =0,
porém Aneq0. Assim, c) é falsa.]

Resposta

a) Falsa. Ex.:
A=1&00&0, B=0&00&1, A,B=0,; Aneq0,; Bneq0
b) Falsa. Ex.:
A=E12, B=E31 ;Longrightarrow; A,B=0,; B,A=E32neq0
c) Falsa. Ex.:
A=0&10&0, A^2=0, Aneq0

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