Questão 10: Sejam A, B e C matrizes n times n.
(A B) C=C(A B) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas matrizes A,B,CinR^ntimes n, vale
(AB)C ;=; C,(AB)
O conteúdo envolvido é a multiplicação de matrizes, onde conhecemos a associatividade mas não a comutatividade.

Passo 2

Pela associatividade da multiplicação de matrizes temos sempre
(AB)C ;=; A,(BC)
Porém, em geral não vale
AB ;=; BA,
ou seja, a multiplicação de matrizes não é comutativa.

Passo 3

Para que (AB)C = C,(AB) fosse verdade teríamos de exigir
AB;C ;=; C;AB,
isto é, exigir que AB comute com C. Essa condição não é garantida para matrizes arbitrárias.

Passo 4

Mostramos um contra-exemplo em R^2times 2. Seja
A = 1 & 0 [6pt] 0 & 0, B = I2, C = 0 & 1 [6pt] 0 & 0
Então AB = A e
(AB)C = A,C = 0 & 1 [4pt] 0 & 0, C,(AB) = C,A = 0 & 0 [4pt] 0 & 0,
logo (AB)C neq C,(AB).]

Passo 5

Concluímos que, em geral, não vale (AB)C = C,(AB). A igualdade só ocorre se e somente se AB comutar com C.

Resposta

Não. Em geral (AB)C neq C,(AB); a igualdade ocorre apenas quando AB comuta com C.

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