Questão 10: Sejam
e
matrizes
.
? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se, dadas matrizes
, vale
O conteúdo envolvido é a multiplicação de matrizes, onde conhecemos a associatividade mas não a comutatividade.
Passo 2
Pela associatividade da multiplicação de matrizes temos sempre
Porém, em geral não vale
ou seja, a multiplicação de matrizes não é comutativa.
Passo 3
Para que
fosse verdade teríamos de exigir
isto é, exigir que
comute com
. Essa condição não é garantida para matrizes arbitrárias.
Passo 4
Mostramos um contra-exemplo em
. Seja
Então
e
logo
.]
Passo 5
Concluímos que, em geral, não vale
. A igualdade só ocorre se e somente se
comutar com
.
Resposta
Não. Em geral
; a igualdade ocorre apenas quando
comuta com
.