A=[lll 1 & 0 & 1 0 & 1 & 5 3 & 0 & 1 ] e B=[lll 2 & 2 & 2 0 & 2 & 2 1 & 1 & 2 ]
Calcule: a) det(3 A); b) det(A^3 B^2); c) det(A^-1 B^T); d) det(A^4 B^-2).

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A=1 & 0 & 10 & 1 & 53 & 0 & 1, B=2 & 2 & 20 & 2 & 21 & 1 & 2,
e pede quatro determinantes envolvendo operações escalares, produto, inversa e transposta. O conteúdo necessário é usar as propriedades:
det(kA)=k^ndet(A), det(AB)=det(A)det(B), det(A^-1)=det(A)^-1, det(A^T)=det(A),
para matrizes 3times3.

Passo 2

Calcular det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet1&50&1 -0cdot(cdots) +1cdotdet0&13&0 =1cdot(1cdot1-5cdot0)+1cdot(0cdot0-1cdot3) =1-3=-2

Passo 3

Calcular det(B) por expansão na primeira linha:
det(B) =2cdotdet2&21&2 -2cdotdet0&21&2 +2cdotdet0&21&1 =2cdot(2cdot2-2cdot1)-2cdot(0cdot2-2cdot1)+2cdot(0cdot1-2cdot1) =2cdot2-2cdot(-2)+2cdot(-2) =4+4-4=4

Passo 4

Resumindo as propriedades para matrizes 3times3:
det(3A)=3^3det(A), det(A^3B^2)=det(A)^3det(B)^2, det(A^-1B^T)=det(A)^-1det(B), det(A^4B^-2)=det(A)^4det(B)^-2

Passo 5

Aplicando em (a):
det(3A)=3^3det(A)=27cdot(-2)=-54

Passo 6

Aplicando em (b):
det(A^3B^2)=(-2)^3cdot4^2 =-8cdot16=-128

Passo 7

Aplicando em (c):
det(A^-1B^T)=det(A)^-1det(B) =(-2)^-1cdot4=-tfrac12cdot4=-2

Passo 8

Aplicando em (d):
det(A^4B^-2)=(-2)^4cdot4^-2 =16cdottfrac116=1

Resposta

a) -54
b) -128
c) -2
d) 1

Exercícios relacionados