lll u(0, y)=0, & u(a, y)=0, & 0
Em seguida determine a solução para
g(x)=ll x, & 0 <= x <= a / 2 a-x, & a / 2 <= x <= a
Res: u(x, t)=sumn=1^infty cn sin (n pi xa) sinh (n pi ya) com cn=2 / asinh (n pi b / a) integral0^a g(x) sin (n pi xa) d x ; cn=4 api^2 1n^2 sin (n pi / 2)sinh (n pi b / a).

Passo 1

A gente tem que resolver a equação de Laplace em um retângulo com condições de contorno nulas em três lados e u(x,b)=g(x) no topo. O conteúdo é separação de variáveis e séries de Fourier do tipo seno. Vamos usar os modos $\sin(n\pi x/a)$ em x e as funções hiperbólicas em y para satisfazer as condições em x=0,a e y=0.

Passo 2

Assumindo \u(x,y)=X(x)Y(y)\ e aplicando \X’’/X=-Y’’/Y=\lambda\. As condições \X(0)=X(a)=0\ levam a \\lambda_n=(n\pi/a)^2\ e \X_n(x)=\sin(n\pi x/a)\. A equação de Y é \Y’’-\lambda_n Y=0\, com \Y(0)=0\, então \Y_n(y)=\sinh(n\pi y/a)\. Logo a solução geral é
$$ u(x,y)=\sum_{n=1}^\infty c_n\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{a}\Bigr)\sinh\Bigl(\frac{n\pi y}{a}\Bigr). $$

Passo 3

Impondo \u(x,b)=g(x)\, temos
$$ \sum_{n=1}^\infty c_n\sinh\Bigl(\frac{n\pi b}{a}\Bigr)\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{a}\Bigr)=g(x). $$
Usamos expansão em série de senos em \(0,a)\ e obtemos
$$ c_n=\frac{2/a}{\sinh(n\pi b/a)}\int_0^a g(x)\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{a}\Bigr)dx. $$

Passo 4

Agora calculamos \I_n=\int_0^a g(x)\sin(n\pi x/a)dx\ com g(x)= x,&0<= x<= a/2a-x,&a/2<= x<= a.\ Fazendo a integral em duas partes e aplicando integração por partes, chega-se a
$$ I_n=2\frac{a2}{(n\pi)2}\sin\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr). $$

Passo 5

Substituindo em \c_n\ temos
$$ c_n=\frac{2/a}{\sinh(n\pi b/a)}\times2\frac{a2}{(n\pi)2}\sin\Bigl(\frac{n\pi}{2}\Bigr)=\frac{4a}{\pi2n2}\frac{\sin(n\pi/2)}{\sinh(n\pi b/a)}. $$
Então a solução final é a série com esses coeficientes.

Resposta

$ u(x,y)=sumn=1^infty4api^2n^2sinl(tfracnpi2r)sinhl(tfracnpi bar)sinl(tfracnpi xar)sinhl(tfracnpi yar)

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