Se A=[lll0 & 1 & 0 2 & 0 & 2 0 & 1 & 0] demonstrar que e^A=[cccx^2 & x y & y^2 2 x y & x^2+y^2 & 2 x y y^2 & x y & x^2], donde x=cosh 1 e y=sinh 1.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 0 & 1 & 0 2 & 0 & 2 0 & 1 & 0
e pede e^A. Para isso vamos usar a série
e^A = sumn=0^infty A^nn!
e aproveitar relações entre potências de A (teoria de polinômio mínimo e séries de hiperbólicas).

Passo 2

Calculamos A^2 e A^3 para descobrir uma relação de recorrência. Multiplicando:
A^2 = 2&0&20&4&02&0&2, A^3 = Acdot A^2 = 0&4&08&0&80&4&0 =4A
Logo A^3=4A. Isso implica que, para k>=1,
A^2k = 4^,k-1,A^2, A^2k+1 =4^k,A

Passo 3

Separamos a soma da série em termos pares e ímpares:
e^A = sumk=0^infty A^2k(2k)! + sumk=0^infty A^2k+1(2k+1)!
Usando as fórmulas de A^2k e A^2k+1 acima obtemos
sumk=0^infty A^2k(2k)! = I + sumk=1^infty 4^k-1A^2(2k)! = I + A^24sumk=1^infty 4^k(2k)!,
sumk=0^infty A^2k+1(2k+1)! = Asumk=0^infty 4^k(2k+1)!

Passo 4

Reconhecemos séries hiperbólicas:
sumk=0^infty 4^k(2k)! = cosh(2), sumk=0^infty 4^k(2k+1)! = sinh(2)2
Portanto
sumk=1^infty 4^k(2k)! = cosh(2)-1,
e concluímos
e^A = I + A^24l(cosh(2)-1r) + Acdotsinh(2)2

Passo 5

Usando identidades de duplo ângulo:
cosh(2)=2cosh^2(1)-1, sinh(2)=2sinh(1)cosh(1),
e definindo x=cosh(1), y=sinh(1), fica
cosh(2)-1=2(x^2-1), sinh(2)=2xy
Logo
e^A = I + A^24,2(x^2-1) + A,(xy) = I + x^2-12A^2 + xy,A
Bastam substituir
A = 0&1&02&0&20&1&0, A^2 = 2&0&20&4&02&0&2
e somar termo a termo para obter
e^A = x^2 & x y & y^2 2 x y & x^2+y^2 & 2 x y y^2 & x y & x^2

Resposta

e^A = x^2 & x y & y^2 2 x y & x^2+y^2 & 2 x y y^2 & x y & x^2 , x=cosh(1),;y=sinh(1)

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