Se
demonstrar que
e^A=[cccx^2 & x y & y^2 2 x y & x^2+y^2 & 2 x y y^2 & x y & x^2] , donde
x=cosh 1 e
y=sinh 1 .
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede
e^A . Para isso vamos usar a série
e aproveitar relações entre potências de
A (teoria de polinômio mínimo e séries de hiperbólicas).
Passo 2
Calculamos
A^2 e
A^3 para descobrir uma relação de recorrência. Multiplicando:
Logo
A^3=4A . Isso implica que, para
k>=1 ,
Passo 3
Separamos a soma da série em termos pares e ímpares:
Usando as fórmulas de
A^2k e
A^2k+1 acima obtemos
Passo 4
Reconhecemos séries hiperbólicas:
Portanto
e concluímos
Passo 5
Usando identidades de duplo ângulo:
e definindo
x=cosh(1) ,
y=sinh(1) , fica
Logo
Bastam substituir
e somar termo a termo para obter