LMuitos foguetes são lançados mais próximos do equador para se aproveitar da velocidade tangencial mais elevada nesta latitude. Considerando este fato, qual é o ganho percentual na velocidade de escape de um foguete lançado do equador em comparação a um foguete lançado de um ponto nos polos? Despreze o efeito da atmosfera terrestre.

Passo 1

O enunciado pergunta qual a redução percentual no valor de \emph{delta-}velocidade (isto é, no módulo da velocidade necessária para escapar do campo gravitacional da Terra) quando o foguete é lançado a partir do equador, aproveitando a velocidade de rotação da Terra, em comparação a um lançamento nos polos, onde essa contribuição angular é nula. O conteúdo é cinemática orbital básica, usando a velocidade de escape e a velocidade tangencial de rotação terrestre.

Passo 2

Calcular a velocidade tangencial de rotação da Terra no equador. A velocidade angular da Terra é
\omega = \frac{2\pi}{T},
onde T\approx86164\;\mathrm{s} é o período de rotação sideral. O raio médio da Terra vale R\approx6{,}371\times10^{6}\;\mathrm{m}. Logo
v_{\mathrm{rot}} = \omega\,R = \frac{2\pi}{86164}\times6{,}371\times10^{6} \approx465{,}1\;\mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular a velocidade de escape da Terra no nível do mar, dada por
v_{\mathrm{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}},
onde GM\approx3{,}986\times10^{14}\;\mathrm{m^{3}/s^{2}}. Substituindo
v_{\mathrm{esc}} = \sqrt{\frac{2\times3{,}986\times10^{14}}{6{,}371\times10^{6}}} \approx1{,}1188\times10^{4}\;\mathrm{m/s} \approx11{,}19\;\mathrm{km/s}.

Passo 4

Quando se lança do equador no sentido de rotação, o foguete já tem v_{\mathrm{rot}} de velocidade inicial. Assim, o \Delta v adicional necessário para alcançar a mesma velocidade de escape (na direção local) cai de v_{\mathrm{esc}} para
v_{\mathrm{esc,\,eq}} = v_{\mathrm{esc}} - v_{\mathrm{rot}}.
Nos polos v_{\mathrm{rot}}=0, então o \Delta v é exatamente v_{\mathrm{esc}}.

Passo 5

O ganho percentual na velocidade de escape equivale à fração
\frac{v_{\mathrm{rot}}}{v_{\mathrm{esc}}}\times100\%.
Substituindo valores numéricos,
\frac{465{,}1}{11188}\times100\%\approx4{,}16\%.

Resposta

O lançamento no equador reduz a \Delta v de escape em cerca de 4{,}2\% em comparação a um lançamento nos polos.

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