Use o teorema de Stokes para calcular
\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}
onde
\gamma
é a borda da superfície
\Omega
. Assuma a orientação de
\gamma
como induzida pela orientação de
\Omega
.
\vec{F}=2 y \vec{i}+3 z \vec{j}-2 x \vec{k}
e
\Omega
é parte da esfera
x{2}+y{2}+z^{2}=1
no primeiro octante e com vetor normal com componente
z
positiva.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r
onde \gamma é a borda da superfície \Omega.
O campo é
\displaystyle \vec F = 2y\,\vec i + 3z\,\vec j - 2x\,\vec k,
e \Omega é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=1 no primeiro octante, com vetor normal apontando para fora (isto é, com componente z positiva).
O conteúdo principal é o Teorema de Stokes, que liga a integral de linha em \gamma ao fluxo de \nabla\times\vec F através de \Omega.

Passo 2

Pelo Teorema de Stokes temos
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r \;=\;\iint_{\Omega} (\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,dS,
onde \vec n é o vetor normal unitário a \Omega compatível com a orientação de \gamma.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de \vec F:
\nabla\times\vec F =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\\ 2y & 3z & -2x \end{vmatrix}.
Isso dá
(\nabla\times\vec F)_x =\partial_y(-2x)-\partial_z(3z)=0-3=-3,
(\nabla\times\vec F)_y =\partial_z(2y)-\partial_x(-2x)=0-(-2)=2,
(\nabla\times\vec F)_z =\partial_x(3z)-\partial_y(2y)=0-2=-2.
Logo
\nabla\times\vec F = (-3,\,2,\,-2).

Passo 4

Na esfera unitária o vetor normal (unitário) é
\displaystyle \vec n=(x,y,z).
Dessa forma o produto interno aparece como
(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n =-3x+2y-2z.
Portanto a integral de superfície fica
\iint_{\Omega}(-3x+2y-2z)\,dS.

Passo 5

Parametrizamos \Omega por coordenadas esféricas com \rho=1, \varphi\in[0,\pi/2], \theta\in[0,\pi/2]:
x=\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\cos\varphi,
e o elemento de área é
dS = \sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Substituindo, o integrando vira
-3(\sin\varphi\cos\theta) +2(\sin\varphi\sin\theta) -2(\cos\varphi)
multiplicado por \sin\varphi.
Assim
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{\pi/2} \bigl[-3\sin^2\varphi\cos\theta +2\sin^2\varphi\sin\theta -2\sin\varphi\cos\varphi\bigr] \,d\varphi\,d\theta.

Passo 6

Separamos em três integrais. Primeiro
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta=1, \quad \int_{0}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta=1, \quad \int_{0}^{\pi/2}d\theta=\frac{\pi}{2}.
E
\int_{0}^{\pi/2}\sin^2\varphi\,d\varphi=\frac{\pi}{4}, \quad \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi =\frac12.
Logo
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r =-3\cdot\frac{\pi}{4} +2\cdot\frac{\pi}{4} -2\cdot\frac12\cdot\frac{\pi}{2} =-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2} =-\frac{3\pi}{4}.

Resposta

-\tfrac{3\pi}{4}

Exercícios relacionados