Use o teorema de Stokes para calcular
\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}
onde
\gamma
é a borda da superfície
\Omega
. Assuma a orientação de
\gamma
como induzida pela orientação de
\Omega
.
\vec{F}=2 y \vec{i}+3 z \vec{j}-2 x \vec{k}
e
\Omega
é parte da esfera
x{2}+y{2}+z^{2}=1
no primeiro octante e com vetor normal com componente
z
positiva.
Passo 1
O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r
onde \gamma é a borda da superfície \Omega.
O campo é \displaystyle \vec F = 2y\,\vec i + 3z\,\vec j - 2x\,\vec k,
e \Omega é a parte da esfera x^2+y^2+z^2=1 no primeiro octante, com vetor normal apontando para fora (isto é, com componente z positiva).
O conteúdo principal é o Teorema de Stokes, que liga a integral de linha em \gamma ao fluxo de \nabla\times\vec F através de \Omega.
Passo 2
Pelo Teorema de Stokes temos
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r \;=\;\iint_{\Omega} (\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,dS,
onde \vec n é o vetor normal unitário a \Omega compatível com a orientação de \gamma.