Use o teorema de Stokes para calcular
\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}
onde
\gamma
é a borda da superfície
\Omega
. Assuma a orientação de
\gamma
como induzida pela orientação de
\Omega
.
\vec{F}=z \vec{i}+x \vec{j}+y \vec{k}
e
\Omega
é parte do parabolóide
z=1-x{2}-y{2}
no primeiro octante e com vetor normal com componente
z
negativa.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r
onde \gamma é a borda de \Omega, sendo \vec F = z\,\vec i + x\,\vec j + y\,\vec k e \Omega é a parte do parabolóide
z = 1 - x^2 - y^2
no primeiro octante, com vetor normal apontando para baixo (isto é, com a componente z negativa).
Conteúdo: Teorema de Stokes. Vamos precisar de (1) \nabla\times\vec F, (2) escolher uma parametrização de \Omega, (3) obter o vetor normal orientado para baixo, e (4) calcular a integral dupla correspondente.

Passo 2

Calculamos o rotacional de \vec F. Para \vec F=(F_1,F_2,F_3)=(z,x,y),
\nabla\times\vec F =\Bigl(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Bigr) =(1,1,1).

Passo 3

Parametrizamos \Omega por
\vec r(x,y)=(x,y,1-x^2-y^2),
com (x,y) variando no quarto de disco
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^2+y^2\le1\}.
Calculamos
\vec r_x\times\vec r_y =(2x,2y,1),
que aponta para cima. Como queremos a normal com componente z negativa, tomamos
\vec n\,dS = -(\vec r_x\times\vec r_y)\,dx\,dy = (-2x,-2y,-1)\,dx\,dy.

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes,
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r =\iint_{\Omega}(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\,dS =\iint_{D}(1,1,1)\cdot(-2x,-2y,-1)\,dx\,dy =\iint_{D}\bigl(-2x-2y-1\bigr)\,dx\,dy.

Passo 5

Passamos a coordenadas polares em D: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, 0\le r\le1, 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}. Então
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1}\bigl(-2r\cos\theta-2r\sin\theta-1\bigr)\,r\,dr\,d\theta.
Integramos em r:
\int_{0}^{1}\bigl(-2r(\cos\theta+\sin\theta)-1\bigr)r\,dr =-2(\cos\theta+\sin\theta)\int_{0}^{1}r^2dr-\int_{0}^{1}r\,dr =-\tfrac{2}{3}(\cos\theta+\sin\theta)-\tfrac12.
Depois em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}\Bigl[-\tfrac{2}{3}(\cos\theta+\sin\theta)-\tfrac12\Bigr]d\theta =-\tfrac{2}{3}\bigl[\sin\theta-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi/2}-\tfrac12\cdot\tfrac{\pi}{2} =-\tfrac{4}{3}-\tfrac{\pi}{4}.

Resposta

\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r =-\frac{4}{3}-\frac{\pi}{4}.

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