Use o teorema de Stokes para calcular
\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}
onde
\gamma
é a borda da superfície
\Omega
. Assuma a orientação de
\gamma
como induzida pela orientação de
\Omega
.
\vec{F}=z \vec{i}+x \vec{j}+y \vec{k}
e
\Omega
é parte do parabolóide
z=1-x{2}-y{2}
no primeiro octante e com vetor normal com componente
z
negativa.
\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r}
onde
\gamma
é a borda da superfície
\Omega
. Assuma a orientação de
\gamma
como induzida pela orientação de
\Omega
.
\vec{F}=z \vec{i}+x \vec{j}+y \vec{k}
e
\Omega
é parte do parabolóide
z=1-x{2}-y{2}
no primeiro octante e com vetor normal com componente
z
negativa.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a borda de
, sendo
e
é a parte do parabolóide
no primeiro octante, com vetor normal apontando para baixo (isto é, com a componente
negativa).
Conteúdo: Teorema de Stokes. Vamos precisar de (1) , (2) escolher uma parametrização de
, (3) obter o vetor normal orientado para baixo, e (4) calcular a integral dupla correspondente.
Conteúdo: Teorema de Stokes. Vamos precisar de (1)
Passo 2
Calculamos o rotacional de
. Para
,
Passo 3
Parametrizamos
por
com
variando no quarto de disco
Calculamos
que aponta para cima. Como queremos a normal com componente
negativa, tomamos
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes,
Passo 5
Passamos a coordenadas polares em
:
,
,
,
. Então
Integramos em
:
Depois em
: